2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知z=2+i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列化简不正确的是(    )
A. cos82°sin52°+sin82°cos128°=−12
B. sin15°sin30°sin75°=18
C. cos215°−sin215°= 32
D. tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘= 3
3. 已知tanα=12，tanβ=−17，则tan(2α+β)的值为(    )
A. −34 B. −3117 C. 1 D. 3117
4. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|OA|=|AB|，则向量CA在向量BC上的投影向量为(    )
A. 14BC B. 34BC C. −14BC D. −34BC
5. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是(    )

A. AC−AE=BF B. AC+AE=12AD
C. AD⋅AB=AD⋅DE D. AD=2(AB+AF)
6. 若平面向量a，b的夹角为60°，且|a|=2|b|，则(    )
A. a⊥(b+a) B. b⊥(b−a) C. b⊥(b+a) D. a⊥(b−a)
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(    )
A. 40 2海里 B. 40 3海里 C. 80 3海里 D. 80 2海里
8. 已知cosα=17，cos(α+β)=−1114，且α，β∈(0,π2)，则β=(    )
A. −π6 B. π6 C. −π3 D. π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于复数z=21−i的四个命题，其中为真命题的是(    )
A. |z|= 2
B. z2=2i
C. z的共轭复数为−1+i
D. z是关于x的方程x2−2x+2=0的一个根
10. 下列说法不正确的是(    )
A. 若|a|=|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a，b满足|a|>|b|，且同向，则a>b
C. 若|a|≠|b|，则a与b可能是共线向量
D. 若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线
11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=ac，且cos(A−C)=cosB+12，延长BA至D.则下面结论正确的是(    )
A. B=π3
B. A=π6
C. 若CD=6，则△ACD周长的最大值为4 3+6
D. 若BD=6，则△ACD面积的最大值为9 34
12. 在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是(    )

A. AE⋅AF=3 32 B. AF在AE上的投影向量是34AE
C. AC=34AE+12AF D. |AC|= 7
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数iz2+i=−1+2i，则z−的虚部为______ ．
14. 若cos(π6−α)=23，则cos(5π3+2α)= ______ ．
15. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|= 3，|2a−b|=5，则|a+3b|= ______ ．
16. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a= 3，且sinC=2sinB，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；则△ABC的面积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z1=i−a，z2=1−i，其中a是实数．
(1)若z12=−2i，求实数a的值；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+…+(z1z2)2022．
18. (本小题12.0分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)
(1)若|c|=4 5，且a//c，求c的坐标；
(2)若|b|= 3，且a+2b与2a−b垂直，求a与b的夹角θ的余弦值cosθ．
19. (本小题12.0分)
已知tan(α−π4)=13．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin(π−2α)cos2α+sin2α+1的值．
20. (本小题12.0分)
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．

21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1．
(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=12， 2a= 3b，c=1+ 3，求△ABC的面积．
22. (本小题12.0分)
如图，某小区有一块空地△ABC，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF，E，F在边BC上(E,F不与B，C重合，且E在B，F之间)，且∠EAF=π4．
(1)若BE=10 2，求EF的值；
(2)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小.设∠EAB=θ，试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵z=2+i，
∴z−=2−i，
∴在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．
故选：D．
先求得复数的共轭复数，写出在复平面内对应的点的坐标，从而得出结论．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：A：cos82°sin52°−sin82°cos52°=sin(52°−82°)=sin(−30°)=−12，正确；
B：sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin230°=18，正确；
C：cos215°−sin215°=cos30°= 32，正确．
D：tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=tan(48°+72°)=tan(120°)=− 3，错误．
故选：D．
A逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C倍角余弦公式化简；D和角正切公式化简求值．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．

3.【答案】C 
【解析】解：因为tanα=12，tanβ=−17，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=12−171−12⋅(−17)=5141514=13，
所以tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]=tanα+tan(α+β)1−tanα⋅tan(α+β)=12+131−12×13=1．
故选：C．
由tanα=12，tanβ=−17，可得tan(α+β)=13，再由tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]及两角和的正切公式求解即可．
本题考查了两角和的正切公式及整体思想，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：∵2AO=AB+AC，
∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，
如图：

又|AB|=|AO|，∴△ABO为等边三角形，
∴∠ACB=30°，∴|CA|=|BC|cos30°= 32|BC|，
向量CA在向量BC上的投影为：−|CA|cos30°=− 32|BC|× 32=−34|BC|，
故向量CA在向量BC上的投影向量为−34BC．
故选：D．
根据条件作图可得△ABO为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可．
本题主要考查投影向量的定义，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】解：对A，AC−AE=AC+EA=EC，显然由图可得EC与BF为相反向量，故 A错误；
对B，由图易得|AE|=|AC|，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，
 AC+AE=2AH与AD共线且同方向，易知△EDH，△AEH均为含π6的直角三角形，
故|EH|= 3|DH|，|AH|= 3|EH|=3|DH|，则|AD|=4|DH|，
∴2|AH|=6|DH|，∴2|AH||AD|=32，∴AC+AE=32AD，故B错误；

 对C，∠C=∠ABC=2π3，|AB|=|BC|=|DC|，∵∠BDC=∠DBC=π6，则∠ABD=π2，
又∵AD//BC，∠DAB=π3，|AD|=2|AB|，∴AD⋅AB=|AD||AB|cosπ3=2|AB|2×12=|AB|2，
∵∠ADE=∠DAB=π3，|DE|=|AB|，∴AD与DE所成角为2π3，
∴AD⋅DE=|AD||DE|cos2π3=−|AB|2，故C错误；
对D，由图知，AB+AF=AO，AD=2AO，∴AD=2(AB+AF)，故D正确．

故选：D．
根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A利用向量减法运算结合图形即可判断，对B借助图形和共线向量的定义即可判断，对C利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D结合图形即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

6.【答案】B 
【解析】解：由题意可得a⋅b=2|b|⋅|b|cos60°=|b|2，
∴b⋅(b−a)=b2−a⋅b=0，
∴b⊥(b−a)，
故选：B．
由题意可得a⋅b=|b|2，再根据b⋅(b−a)=0，可得 b⊥(b−a)，从而得到答案．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，属于基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：由题意作出图形：∠SAB=40°，∠SAC=70°，则∠BAC=30°，
由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，
所以BCsin30∘=ABsin45∘，则BC=40 2海里．
故选：A．
由题意作出示意图，应用正弦定理求出B，C两点间的距离即可．
本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：由0