精品解析：重庆市第一中学校高一下学期4月月考数学试题

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重庆一中高高一下期4月月考
数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）
1. 记复数z的共轭复数为，满足条件的所有复数在复平面上所占的面积是（ ）
A. B. C. D.
2. 记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，则集合元素个数为（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数满足.向量，，，记在方向上的向量为，则当最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一半径为1的小球1个，若将盒子任意翻动，则小球不能到达的空间体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，，，点D为边边上一动点，将沿着翻折，使得点B到达，且平面平面，则当最小时，的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数在区间上单调，且满足.若函数在区间上恰有5个零点，则的值可能为（ ）
A B. C. 3 D.
10. 已知满足三个条件：①②③_______.若这样的恰好有2个，则③可以是（ ）
A. B. C. 等腰三角形 D. 是直角三角形
11. 设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、、，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对任意，
C. 若、为不共线向量，满足，则，
D.
12. 已知三棱锥，过顶点的平面交分别棱，于，（均不与棱端点重合）.设，，，其中和分别表示三棱锥和三棱锥的体积.下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 复数，且，则实数_______.
14. 平面向量，，满足，，，则______．
15. 若四面体外接球半径为1，，则其最大体积为__________.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外心到其三边距离和的取值范围是______.
四、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数
（1）求复数；
（2）若复数是纯虚数，求实数的值
18. 如图，点M、N分别是正四面体棱、上的点，正四面体的边长为3,设，直线与直线所成的角为.

（1）若，求三棱锥体积的最大值；
（2）若，求的取值范围.
19. 在锐角中，均为已知常数），.的外接圆，内切圆半径分别为.
（1）求；
（2）点分别在线段上，的周长为，请证明：.
20. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．

（1）设 为棱 的中点，证明：四点共面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
（1）设，求的特征向量；
（2）设向量的特征函数为，求当且时，的值；
（3）设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.
22. 已知函数，其中a为参数.
（1）证明：，；
（2）设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.