压轴题07 通电导线和带电粒子在磁场中的动力学问题-高考物理压轴题专项训练（全国通用）

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压轴题07 通电导线和带电粒子在磁场中的动力学问题

考向一/选择题：通电导线在磁场中的动力学问题
考向二/选择题：带电粒子在有界磁场中的运动
考向三/选择题：带电粒子在叠加场中的运动

考向一：通电导线在磁场中的动力学问题
1.安培力公式：F＝ILBsin θ。
2．两种特殊情况：
(1)当I⊥B时，F＝BIL。
(2)当I∥B时，F＝0。
3．弯曲通电导线的有效长度

(1)当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。
(2)对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。
4.安培力方向的判断
(1)判断方法：左手定则。
(2)方向特点：既垂直于B，也垂直于I，所以安培力一定垂直于B与I决定的平面。
考向二：带电粒子在有界磁场中的运动

圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本思路
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
利用平面几何知识求半径
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝T；②t＝
图例





说明
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
常用解三角形法(如图)：R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：
φ180°时，φ＝360°－2α
考向三：带电粒子在叠加场中的运动
（一）带电粒子在叠加场中的直线运动
1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。
2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。　
（二）带电粒子在叠加场中的圆周运动
1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
（三）配速法处理带电粒子在叠加场中的运动
1.若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
2.几种常见情况：
常见情况
处理方法
初速度为0，有重力


把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1

初速度为0，不计重力

把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1



初速度为0，有重力



把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1
和一个斜向右上方的速度v1



初速度为v0，有重力



把初速度v0，分解速度v1和速度v2



1．竖直平面内有轻绳1、2、3连接如图所示。绳1水平，绳2与水平方向成角，绳3的下端连接一质量为m的导体棒1，在结点O正下方距离处固定一导体棒2，两导体棒均垂直于纸面放置。现将导体棒1中通入向里的电流I0，导体棒2中通入向外且缓慢增大的电流I。当增大到某个值时，给导体棒1以向右的轻微扰动，可观察到它缓慢上升到绳1所处的水平线上。绳3的长度为d，两导体棒长度均为l，重力加速度为g。导体棒2以外距离为x处的磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　）

A．应在时给导体棒1以轻微的扰动
B．绳1中拉力的最大值为
C．绳2中拉力的最小值为
D．导体棒2中电流的最大值为
【答案】B
【详解】A．对导体棒1进行受力分析如图，此三个力组成的封闭三角形与相似，所以
所以，恒有初始时，应有联立解得所以应在
时给导体棒1微小扰动，A错误；
B．对结点进行分析，绳1和绳2中的拉力和的合力大小恒为，导体棒运动过程中和的合力将从竖直方向逆时针转到水平方向，由图示可知先增大后减小，当与绳2垂直时最大，最大值为
，B正确；
C．一直减小，直至导体棒1运动至绳1所在的水平线上时最小最小值为零，C错误；
D．由上述分析可知由几何关系可知，导体棒1运动至绳1所在的水平线上时有最大值为，所以且此时所以电流最大值，D错误。故选B。

2．如图所示为长度相同、平行硬通电直导线a、b的截面图，a导线固定在O点正下方的地面上，b导线通过绝缘细线悬挂于O点，已知，a导线通以垂直纸面向里的恒定电流，b导线通过细软导线与电源相连（忽略b与细软导线之间的相互作用力）。开始时，b导线静止于实线位置，Ob与竖直方向夹角为，将b中的电流缓慢增加，b缓慢移动到虚线位置再次静止，虚线与Ob夹角为（）。通电直导线的粗细可忽略不计，b导线移动过程中两导线始终保持平行。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小的计算公式为，式中I为导线上的电流大小，r为某点距导线的距离，k是常数。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．b中的电流方向为重直纸面向里，
B．b在实线位置时和在虚线位置时，其电流强度之比为1：4
C．b缓慢移动的过程中，细线对b的拉力逐渐变大
D．若在虚线位置将b中电路突然切断，则该瞬间b的加速度为
【答案】D
【详解】A．对导线b受力分析，a、b导线间为斥力时b导线才能平衡，根据“同向电流吸引，反向电流排斥” ，可知b中的电流方向为垂直纸面向外，故A错误；
C．b导线受力分析如图1所示，与力的矢量三角形相似，有，不变，而Ob长度也不变，所以拉力T不变，故C错误；

B．ab长度变长，也得变大，但是到达虚线位置后，由题目可知，a导线在处、b处产生的磁感应强度大小之比为又则整理得到故B错误；
D．若在虚线位置将电路断开，使b中无电流，b受到的安培力变为零，b受重力和细线的拉力开始做圆周运动，受力分析如图2所示，沿半径方向沿切线方向所以加速度为
故D正确。故选D。
3．如图所示，长方形abcd中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（　　）

A．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子其出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在ab边
D．从ad边射入的粒子其出射点均为b点
【答案】D
【详解】AC．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可
因ab=0.3m，故从Od边射入的所有粒子运动的轨迹形成以r为半径的平移圆弧，从点O射入的粒子从b点射出，从d点射入的粒子运动到e点，因边界eb上无磁场，故这些粒子到达be段后应沿eb方向做直线运动，即全部通过b点，故AC错误；
BD．从aO边（不含O点）射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某个粒子从M点进入磁场，轨迹圆心为O'，如图所示，根据几何关系可得，四边形O'Meb为菱形，则粒子一定从b点射出。再结合选项A的分析可知，从ad边射入的粒子全部从b点射出，故B错误，D正确。
故选D。

4．如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的有（　　）

A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定等于v0
C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于
D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于
【答案】C
【详解】A．当粒子垂直于MN入射时，经过MN时离O点最远，此时有OA=2R0若粒子的速度大于v0，则粒子的半径将变大，但是粒子如果速度方向与MN成一定角度入射，则仍可以到达A点左侧，选项A错误；
B．若粒子落在A点的右侧，则说明粒子运动的圆半径大于R0，则其速度一定大于v0，选项B错误；
C．当粒子从O点垂直MN入射，落在A点左侧相距为d的位置时，有则即
解得则若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于，选项C正确；
D．当粒子从O点垂直MN入射，落在A点右侧相距为d的位置时，有则即解得则若粒子大于v，但不是垂直MN入射，粒子同样可以落在A点左右两侧d的范围内，选项D错误。故选C。
5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。以下说法正确的是（　　）

A．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中最长运动时间不大于
【答案】D
【详解】AB．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图1所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨道半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故AB错误；

CD．当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图2所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角大小为可得粒子在磁场中运动的最长时间为故C错误，D正确。故选D。
6．如图所示，一个可以看成点电荷的带电小球质量为m，电荷量为+q，从水平面上的M点以初速度v0抛出，初速度方向与竖直方向的夹角为θ，小球恰好垂直撞击在竖直墙壁的N点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．小球从M点运动到N点的竖直位移y与水平位移x之比满足
B．若在空间施加一个垂直纸面向里的匀强电场，小球从M点以速度v0沿原方向抛出后可能会垂直击中墙面
C．若在空间施加一个大小为方向与v0同向的匀强电场，从水平地面上的P点将小球以速度v0抛出，速度方向与竖直方向的夹角为θ＝37°，sin37°＝0.6，小球垂直撞击在竖直墙壁上的Q点，则PQ两点间的水平间距
D．若空间中充满了垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，从水平地面上的S点将小球以速度v0竖直向上抛出后，小球垂直撞击在竖直墙壁上的T点，则ST两点间竖直高度差
【答案】D
【详解】A．可采用逆向思维法，将小球的斜上抛运动看作一个反向的平抛运动来处理，设小球水平抛出的初速度为v，从M点运动到N点的时间为t，借助速度的分解，可得由位移的分解可得则故A错误；
B．由运动的独立性可知，当小球运动到N点时在竖直面的速度水平向左，但仍有垂直纸面向里的分速度，所以不可能垂直击中墙面，故B错误；
C．电场力与重力的合力大小为，方向与v0垂直向左下方，将该合力与初速度v0沿水平方向与竖直方向分解，竖直方向上在水平方向上故C错误；
D．由于可将小球的运动分解为水平向右的速度为v0的匀速运动和速率的逆时针方向的匀速圆周运动两个分运动，在T处的速度是两种运动速度的矢量之和，即由动能定理得解得 故D正确。故选D。
7．如图所示，一内壁光滑、上端开口下端封闭的绝缘玻璃管竖直放置，高为h，管底有质量为m、电荷量为+q的小球，玻璃管以速度v沿垂直于磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。在外力作用下，玻璃管在磁场中运动速度保持不变，小球最终从上端管口飞出，在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A．洛伦兹力对小球做正功
B．小球做匀加速直线运动
C．小球机械能的增加量小于qvBh
D．若玻璃管运动速度越大，则小球在玻璃管中的运动时间越小
【答案】D
【详解】A．洛伦兹力的方向与速度方向垂直，永不做功，选项A错误；
B．玻璃管在水平方向做匀速运动，小球受到的洛伦兹力在竖直方向的分力保持不变，即在竖直方向做匀加速运动，合运动为匀加速曲线运动，选项B错误；
C．由于管对球的支持力对小球做了功，小球的机械能是增加的，在竖直方向上，由牛顿第二定律由匀变速位移公式小球离开管口的速度合速度动能增量重力势能增量联立解得选项C错误；
D．小球的实际运动速度可分解为水平方向的速度v和竖直方向的速度vy，竖直方向的洛伦兹力不变，在竖直方向上，由牛顿第二定律由匀变速位移公式联立解得即玻璃管运动速度越大，则小球在玻璃管中的运动时间越小，选项D正确。故选D。
8．一个质量为m、带电量为+q的小球，由长为l的细线吊在天花板下，空间有竖直向下的匀强磁场。如图甲小球恰好以速率v0逆时针在水平面内做匀速圆周运动，如图乙小球以速率v1顺时针在水平面内做匀速圆周运动，这两种情况小球的轨道平面与地面的距离均为h，细线与竖直方向的夹角均为θ。已知重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。下列选项正确的是（　　）

A．两种情况小球的向心加速度大小相同
B．两种情况小球所受的拉力不同
C．两种情况小球的速率相同
D．两种情况剪断细线后，小球落到地面的时间相同为
【答案】D
【详解】C．根据牛顿第二定律得；解得 ，C错误；
A．小球的向心加速度为；解得 ，l相同，v不同，所以a不同，A错误；
B．小球所受的拉力 ，所以两种情况小球所受的拉力相同，B错误；
D．剪断细线后，小球做平抛运动，运动时间为解得 ，两种情况小球的轨道平面与地面的距离均为h，两种情况剪断细线后，小球落到时间相同，D正确。故选D。
9．若带电粒子在磁场中所受的重力不能忽略，它将做较复杂的曲线运动，“配速法”是解决此类问题的重要方法。我们给带电粒子配置一个速度v1，使之对应的洛伦兹力与重力平衡，可视为匀速直线运动；再配置一个与v1等大反向的速度v2，粒子同时做速度大小为v2的匀速圆周运动，实际的运动为这两个运动的合运动。如图所示，在水平方向上存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。将质量为m、电荷量绝对值为q的带电油滴从a点由静止释放，它在竖直面内运动的部分轨迹如图所示，b为整段轨迹的最低点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）

A．油滴可能带负电
B．轨迹ab可能是椭圆曲线的一部分
C．油滴到b点时的速度大小为
D．油滴到b点后将沿水平方向做匀速直线运动
【答案】C
【详解】A．油滴在重力作用下下落，获得速度后将受到洛伦兹力作用，根据大致轨迹结合洛伦兹力方向可判断油滴带正电，故A错误；
B．将油滴的运动分解为两个分运动，一个是水平向右的匀速直线运动，速度大小满足受力满足二力平衡，另一个是初速度方向向左，大小为v的匀速圆周运动，受到的洛伦兹力为qvB，两个分运动的合成轨迹将是一个旋轮线，故B错误；
C．油滴到b点时，重力做功最多，速度最大，正好是匀速圆周运动分运动的最低点，速度大小为
方向水平向右，故C正确；
D．在b点时的洛伦兹力大小为2qvB、方向竖直向上，重力大小为mg，二力合力向上，有
加速度大小为g，方向向上，故不可能沿水平方向做匀速直线运动，故D错误。故选C。
10．如图甲所示，在水平面内放置有一个超导平板，在处有一质量为m、半径为r、环心在z轴上的水平匀质金属圆环，且。在圆环内通入电流，在圆环磁场的作用下超导平板内形成感应电流，产生附加磁场。可以证明，超导平板内感应电流在区域产生的附加磁场，相当于在处对称地放置一个半径也为r的镜像圆环电流所产生的磁场，镜像圆环内的电流与原圆环电流大小相等方向相反。已知长直通电导线在空间中某点激发的磁场的磁感应强度满足下列关系式：，k为常数，I为通过直导线的电流，x为此点与直导线的垂直距离。设重力加速度为g。当环内电流达到恒定值时，圆环刚好能悬浮在处，此时（　　）

A．圆环对超导平板的作用力大小为
B．超导平板在圆环处产生的附加磁场的磁感应强度
C．圆环内的电流
D．圆环内的电流
【答案】AC
【详解】A．根据圆环的平衡和牛顿第三定律可判断，圆环对超导平板的作用力大小等于圆环重力，A正确；
B．由于，因此两圆环近似看作两根平行长直导线，圆环所在处的磁感应强度B由镜像圆环产生，则由题目条件可知，B错误；
CD．由于两导线间的电流反向，因此上面圆环所受的安培力方向竖直向上，大小为故
又由于圆环恰好悬浮，故计算可得，C正确，D错误。故选AC。
11．如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为g；减速时，加速度的最大值为g，其中g为重力加速度大小。下列说法正确的是（　　）

A．棒与导轨间的动摩擦因数为
B．棒与导轨间的动摩擦因数为
C．加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ=60°
D．减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ=150°
【答案】BC
【详解】设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ1