重难点3-1 导函数与原函数混合构造8大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点3-1 导函数与原函数混合构造8大题型

导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查，难度较大。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。

常见的导函数与原函数混合构造类型
关系式为“加”型构造：
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造


【题型1 构造型】
【例1】（2023·陕西西安·统考一模）已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为
A． B． C． D．


【变式1-1】（2022秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-3】（2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习）定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．


【题型2 构造型】
【例2】（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ）
A． B． C． D．


【变式2-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．


【变式2-2】（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，，则不等式的解集是__________.


【题型3 构造型】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ）
A． B． C． D．


【变式3-1】（2022秋·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式3-3】（2022春·河南·高二校联考阶段练习）定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．


【题型4 构造型】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022秋·云南楚雄·高三统考期末）已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．


【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．


【题型5 构造型】
【例5】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式5-1】（2022春·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．


【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ）
A．（－∞,1） B．（－1,1） C．（－∞,0）∪（0,1） D．（－1,0）∪（0,1）


【题型6 构造型】
【例6】（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-3】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ）
A． B． C． D．


【变式6-4】（2022秋·山西太原·高三校考期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．


【题型7 构造型】
【例7】（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．


【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π） B．
C． D．


【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．


【题型8 其他复杂构造】
【例8】（2022秋·山东德州·高三统考期末）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式8-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．


【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式8-3】（2022春·广东广州·高二校考期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．



（建议用时：60分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是________.
8．（2022秋·贵州·高三校联考期末）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·广东汕头·高三汕头市第一中学校考阶段练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·黑龙江绥化·高三校联考开学考试）定义在上的函数的图象是连续不断的一条曲线，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·江苏淮安·高三校考开学考试）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且时，上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.