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重难点4-2 解三角形中的最值与范围问题4大题型-高考数学专练（新高考专用）
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重难点4-2 解三角形中的最值与范围问题4大题型
解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
【题型1 与角或三角值有关的问题】
【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即：，，∴，
∴由正弦定理得：，即：，
∴，
∴或，解得：或（舍），
又∵△ABC为锐角三角形，则，
∴，解得：，
∴，
又∵，∴，∴，∴，
即的取值范围.故选：B.
【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
（2）由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由余弦定理得，
，，，
为钝角，则均为锐角，
，即；
（2），
令，为钝角，则，
，
当，即时，取最大值，且为.
【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由及余弦定理，得，
由正弦定理得：，
又，，
，，
都是锐角，，即.
（2）令，
由（1）得，
在锐角三角形中，，即，
解得，，
令，，
又函数在上单调递增，
，
故的取值范围是.
【题型2 求周长的最值与范围问题】
【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
（1）求；
（2）若，求周长的最小值.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得
，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小；
（2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据余弦定理可知，，
所以，即，
则,，所以；
（2）设，
根据正弦定理可知，
所以,，
所以周长
,
因为,，
所以，所以，
所以的周长为.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，
（1）求的值及函数的对称轴方程；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【答案】（1），对称轴方程为：；；（2）.
【解析】（1），
，
因为函数的两个相邻零点间的距离为，
所以函数的最小正周期为，因为，
所以，即，
令，所以对称轴为；
（2）由，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可知：
，
所以三角形的周长为，
，
因为，所以，
因此，
所以周长的取值范围为.
【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．
（1）求的值
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由三角形面积公式得:，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故．
（2）因为，，由正弦定理得，
，
即的周长
，
因为，则，故，
所以，即的周长的取值范围是.
【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形中，四点共圆，，，．
（1）若，求的长；
（2）求四边形周长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为四点共圆，所以，
因为，所以，
因为，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，当且仅当时，等号成立，
故四边形周长的最大值为.
【题型3 求面积的最值与范围问题】
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
∴的值域为．
（2），
即，由 ,得
∴，即，
又，即，
∴，
∴，当且仅当时取得．
【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）设是边上的高，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）法一：左边，
右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，
右边，
由题意得，
又因为，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，当且仅当时取“等号”，
而，故
【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，
而，，则，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
因此，即，当且仅当时取等号，
又，
所以面积的取值范围是．
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若O是的内心，，且，求面积的最大值.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
因为，所以或
（2）因为，且，所以由余弦定理得，
所以A为锐角，由（1）知.
因为是的内心，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，
所以面积的最大值为.
【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）记 与 的面积分别记为和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）设，，∴，
∴，∴，①
，
当且仅当，时取最大值 ；
综上， ， 的最大值是 .
【题型4 与边有关的最值与范围问题】
【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为锐角，所以，
即，解得，
所以，所以，
故，即.
【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，所以.
（2）因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，
所以，所以，即，
令，，
由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由条件得：，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）及，则，角一定为锐角，
又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，
所以，即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.
（1）求B；
（2）若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）方法一：，
所以，
所以
.
方法二：在中，由正弦定理得：，
所以，
所以.
因为，所以，所以，
因为.
（2）方法一: ，
当且仅当时取，
，
.
方法二: 在中，由余弦定理得：
当且仅当取“=”）所以,
所以的面积.
.
【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在中，分别为内角的对边，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由得,
即，
即
即,因为,
所以,即,
由得，故.
（2）由结合余弦定理得,
则,
于是,即.
解得,
故当时，有最大值.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在中，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为，所以.
又，所以的范围是.故选：B
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.故选：C.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
即，展开整理得，
因为锐角中，，
所以，即，
由，得，
，
因为，所以，
所以，
所以的范围为.
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
5．（2023·全国·校联考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）∵，∴，
∴由余弦定理得：，即：，
由正弦定理得：，
∴，
整理得：，即：，
又∵，∴，即：.
（2）∵，∴，
又∵，
，，
∴由正弦定理得：
，
又∵，∴，
令，则，，
∵对称轴为，
∴在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，即：的范围为.
6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，，
所以，
则，
又，所以，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，由正弦定理得，
又，，所以．
因为，所以，所以，
故，即的取值范围为．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知是与的等比中项．
（1）求A﹔
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是与的等比中项，所以，
由正弦定理及两角和的正弦公式，得．
因为，
所以，
即．
因为，所以，
所以，即．
又，所以，
所以，即．
（2）由正弦定理，得，
所以．
因为是锐角三角形，所以
所以，所以，
所以的取值范围是．
8．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
（1）若 ， 求的面积;
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）任选一条件，面积皆为；（2）
【解析】（1）若选条件①，由及正弦定理，
得
即，化简得，
因为，所以，所以，
因为，所以．
若选条件②，由 及正弦定理，得，
即，化简得,
因为 ，所以，所以，因为 ， 所以．
若选条件③，由 化简得，，
由余弦定理得，即，因为，所以，
所以三个条件，都能得到.
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
（2）因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围为.
9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且△ABC的周长为6．
（1）证明：；
（2）求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在△ABC中，由余弦定理可得：，
即，又因为，
所以，整理可得：，
所以得证.
（2）由（1）可知：，
所以，当且仅当时取等号，
所以或，因为，所以，
则，所以，
故△ABC面积的最大值为.
10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角中，角A，，所对的边分别为．
（1）求A；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，由得．
（2）因为，
由正弦定理得，
由可得，
所以，则，故，
所以的面积．
即面积的取值范围为．
重难点4-2 解三角形中的最值与范围问题4大题型
解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
【题型1 与角或三角值有关的问题】
【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即：，，∴，
∴由正弦定理得：，即：，
∴，
∴或，解得：或（舍），
又∵△ABC为锐角三角形，则，
∴，解得：，
∴，
又∵，∴，∴，∴，
即的取值范围.故选：B.
【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
（2）由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由余弦定理得，
，，，
为钝角，则均为锐角，
，即；
（2），
令，为钝角，则，
，
当，即时，取最大值，且为.
【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由及余弦定理，得，
由正弦定理得：，
又，，
，，
都是锐角，，即.
（2）令，
由（1）得，
在锐角三角形中，，即，
解得，，
令，，
又函数在上单调递增，
，
故的取值范围是.
【题型2 求周长的最值与范围问题】
【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
（1）求；
（2）若，求周长的最小值.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得
，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小；
（2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据余弦定理可知，，
所以，即，
则,，所以；
（2）设，
根据正弦定理可知，
所以,，
所以周长
,
因为,，
所以，所以，
所以的周长为.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，
（1）求的值及函数的对称轴方程；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【答案】（1），对称轴方程为：；；（2）.
【解析】（1），
，
因为函数的两个相邻零点间的距离为，
所以函数的最小正周期为，因为，
所以，即，
令，所以对称轴为；
（2）由，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可知：
，
所以三角形的周长为，
，
因为，所以，
因此，
所以周长的取值范围为.
【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．
（1）求的值
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由三角形面积公式得:，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故．
（2）因为，，由正弦定理得，
，
即的周长
，
因为，则，故，
所以，即的周长的取值范围是.
【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形中，四点共圆，，，．
（1）若，求的长；
（2）求四边形周长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为四点共圆，所以，
因为，所以，
因为，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，当且仅当时，等号成立，
故四边形周长的最大值为.
【题型3 求面积的最值与范围问题】
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
∴的值域为．
（2），
即，由 ,得
∴，即，
又，即，
∴，
∴，当且仅当时取得．
【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）设是边上的高，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）法一：左边，
右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，
右边，
由题意得，
又因为，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，当且仅当时取“等号”，
而，故
【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，
而，，则，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
因此，即，当且仅当时取等号，
又，
所以面积的取值范围是．
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若O是的内心，，且，求面积的最大值.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
因为，所以或
（2）因为，且，所以由余弦定理得，
所以A为锐角，由（1）知.
因为是的内心，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，
所以面积的最大值为.
【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）记 与 的面积分别记为和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）设，，∴，
∴，∴，①
，
当且仅当，时取最大值 ；
综上， ， 的最大值是 .
【题型4 与边有关的最值与范围问题】
【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为锐角，所以，
即，解得，
所以，所以，
故，即.
【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，所以.
（2）因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，
所以，所以，即，
令，，
由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由条件得：，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）及，则，角一定为锐角，
又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，
所以，即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.
（1）求B；
（2）若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）方法一：，
所以，
所以
.
方法二：在中，由正弦定理得：，
所以，
所以.
因为，所以，所以，
因为.
（2）方法一: ，
当且仅当时取，
，
.
方法二: 在中，由余弦定理得：
当且仅当取“=”）所以,
所以的面积.
.
【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在中，分别为内角的对边，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由得,
即，
即
即,因为,
所以,即,
由得，故.
（2）由结合余弦定理得,
则,
于是,即.
解得,
故当时，有最大值.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在中，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为，所以.
又，所以的范围是.故选：B
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.故选：C.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
即，展开整理得，
因为锐角中，，
所以，即，
由，得，
，
因为，所以，
所以，
所以的范围为.
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
5．（2023·全国·校联考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）∵，∴，
∴由余弦定理得：，即：，
由正弦定理得：，
∴，
整理得：，即：，
又∵，∴，即：.
（2）∵，∴，
又∵，
，，
∴由正弦定理得：
，
又∵，∴，
令，则，，
∵对称轴为，
∴在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，即：的范围为.
6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，，
所以，
则，
又，所以，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，由正弦定理得，
又，，所以．
因为，所以，所以，
故，即的取值范围为．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知是与的等比中项．
（1）求A﹔
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是与的等比中项，所以，
由正弦定理及两角和的正弦公式，得．
因为，
所以，
即．
因为，所以，
所以，即．
又，所以，
所以，即．
（2）由正弦定理，得，
所以．
因为是锐角三角形，所以
所以，所以，
所以的取值范围是．
8．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
（1）若 ， 求的面积;
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）任选一条件，面积皆为；（2）
【解析】（1）若选条件①，由及正弦定理，
得
即，化简得，
因为，所以，所以，
因为，所以．
若选条件②，由 及正弦定理，得，
即，化简得,
因为 ，所以，所以，因为 ， 所以．
若选条件③，由 化简得，，
由余弦定理得，即，因为，所以，
所以三个条件，都能得到.
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
（2）因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围为.
9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且△ABC的周长为6．
（1）证明：；
（2）求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在△ABC中，由余弦定理可得：，
即，又因为，
所以，整理可得：，
所以得证.
（2）由（1）可知：，
所以，当且仅当时取等号，
所以或，因为，所以，
则，所以，
故△ABC面积的最大值为.
10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角中，角A，，所对的边分别为．
（1）求A；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，由得．
（2）因为，
由正弦定理得，
由可得，
所以，则，故，
所以的面积．
即面积的取值范围为．
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