重难点7-1 空间角与空间距离问题8大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点7-1 空间角与空间距离问题8大题型

空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点，在2023年的高考中依旧是命题的热点方向。通常在多选题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。

一、几何法求异面直线夹角
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
二、几何法求直线与平面夹角
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
三、确定二面角的平面角的方法
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角

2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。

4、射影面积法求二面角
方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
四、点面距的求解方法
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
五、向量法求空间角与空间距离
1、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，
则.
2、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.
3、平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，
则.
4、点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。


【题型1 几何法求异面直线夹角】
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．


【变式1-1】（2023·陕西·校联考模拟预测）在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2023·甘肃·统考一模）在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-3】（2023春·全国·高三校联考开学考试）如图，四边形ABCD为菱形．，平面ABCD，，，设，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM．

（1）试问是否存在实数，使得平面AFC？若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由；
（2）当时，求异面直线EM与FC所成角的余弦值．


【题型2 向量法求异面直线夹角】
【例2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，六棱锥的底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心．已知平面ABCDEF．

（1）求证：平面平面PCE．
（2）若，且．求异面直线PF与BC的夹角的正弦值．


【变式2-1】（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．

（1）证明：平面；
（2）若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．


【变式2-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，在梯形中，，，现将沿翻折成直二面角.

（1）证明：；
（2）若，二面角余弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.


【变式2-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.

（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.


【变式2-4】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，．

（1）若，求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．


【题型3 几何法求直线与平面夹角】
【例3】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．


【变式3-1】（2023·甘肃定西·统考一模）如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）

A． B． C． D．


【变式3-2】（2023·四川凉山·二模）如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面．

（1）证明：；
（2）若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．


【变式3-3】（2023·广西·统考三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．

（1）证明：平面平面PAC；
（2）求AD与平面PCD所成角的正弦值．


【变式3-4】（2023·江苏·二模）已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．

（1）求证：
（2）求直线与平面所成角的正弦值．


【题型4 向量法求直线与平面夹角】
【例4】（2023·四川广安·统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求证：两两垂直，并求直线与平面所成角的正弦值.


【变式4-2】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．


【变式4-3】（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.


【变式4-4】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.

（1）证明：直线平面；
（2）已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.


【题型5 几何法求平面与平面夹角】
【例5】（2023·河南安阳·统考二模）如图所示圆锥的正视图是边长为2的正三角形，AB为底面直径，C为的中点，则平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的正切值为（ ）．

A． B． C． D．


【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，.

（1）求直线与平面所成的角；
（2）求二面角的正切值.


【变式5-2】（2023·浙江温州·统考二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．

（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．


【变式5-3】（2023·江苏·统考一模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

（1）在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.


【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在几何体中，四边形是矩形，面，分别是线段的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.


【题型6 向量法求平面与平面夹角】
【例6】（2023·河南洛阳·校联考三模）如图，正三棱柱中，，M，N分别为棱BC，的中点，P为AM上的一点，过P，，三点的平面交AB，AC于点E，F．

（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面，所成锐二面角大小为，求的值．


【变式6-1】（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.

（1）求证：平面；
（2）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.


【变式6-2】（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）在四棱锥中,底面ABCD是等腰梯形,,,平面平面PCD,．

（1）求证:为直角三角形;
（2）若,求二面角的大小．


【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）如图，三棱柱中，，，侧面为菱形

（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角的正弦值．


【变式6-4】（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．


【题型7 几何法解决空间距离问题】
【例7】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【变式7-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）

A． B． C． D．1


【变式7-2】（2023·新疆阿克苏·校考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点．

（1）求证：平面PAB；
（2）求点C到平面PMN的距离．


【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.

（1）证明：平面EB1D1平面FBD；
（2）求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.


【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离.



【题型8 向量法解决空间距离问题】
【例8】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）在四棱台中，底面是正方形，且侧棱底面分别是的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线到平面的距离.


【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.


【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：

（1）直线与平面的距离；
（2）平面与平面的距离．


【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.

（1）求四棱锥的体积；
（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.


【变式8-4】（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.



（建议用时：60分钟）
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）（多选）在长方体中， ，则（ ）
A．与是异面直线 B．与是异面直线
C．异面直线与的距离为1 D．异面直线与的距离为
2．（2023·广东·统考一模）（多选）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（ ）
A． B．与所成角为
C．与平面所成角为 D．与平面所成角的正切值为
3．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）如图甲，在矩形中，，，为上一动点（不含端点），且满足将沿折起后，点在平面上的射影总在棱上，如图乙，则下列说法正确的有（ ）

A．翻折后总有
B．当时，翻折后异面直线与所成角的余弦值为
C．当时，翻折后四棱锥的体积为
D．在点运动的过程中，点运动的轨迹长度为
4．（2023·青海西宁·统考二模）关于正方体有如下说法：
①直线与所成的角为；    ②直线与所成的角为；
③直线与平面所成的角为；   ④直线与平面ABCD所成的角为．
其中正确命题的序号是_______．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为________.
6．（2023·北京房山·统考一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.

（1）求证：平面PBD；
（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
（3）求D到平面APM的距离.




7．（2023·云南红河·统考二模）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．

（1）若为线段上的一个动点，证明：∥平面
（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．




8．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．

（1）证明：面POD；
（2）若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．




9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中,.设点在底面上的射影为.

（1）求二面角的余弦值.
（2）设点在棱上，且，试求二面角的夹角的余弦值.




10．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.

（1）求证：面ABC；
（2）若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.