浙江省温州市中考数学考前一月知识回顾卷04---几何证明题精选

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浙江省温州市中考数学考前一月知识回顾卷04
几何证明题精选
编题者寄语：经过紧张的中考总复习，初中时代已然接近尾声。不少同学认为成绩已然成定局。其实不然，只要我们熟悉中考高频考点，不要在基础题中丢分，我们的数学成绩依然可以提升一个档次。再次，预祝全体温州中考生考试顺利。
一、解答题
1．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)17

【分析】（1）根据，证明；
（2）由等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，再根据，求出的长．
【详解】（1）∵
∴
∵在与

∴
（2）∵，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
2．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连结．

(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键．
3．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）如图，在中，是上一点，，以为直径的经过点，交于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4

【分析】（1）连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，然后根据平行线的判定与性质即可得证；
（2）连接，先证出，再根据三角形中位线定理可得，然后根据正切的定义设，则，，，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，即，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴（三角形的中位线定理），
∵，，
设，则，，
，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、正切、勾股定理、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
4．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）如图，在矩形中，点E，O分别为的中点，过点A作交EO的延长线于点F，连接交于点G．

(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3

【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定；
（2）利用证明，推出，再利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，．
点，分别为，的中点，
，即．
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：连接．

由（1）得，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
．
，
．
为斜边上的中线，
，即为等边三角形．
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．

(1)求证：．
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据垂径定理得出，进而得出，再根据“弧，弦，圆心角之间的关系”得出，然后结合平行线的性质得出，最后根据“等角对等边”得出答案；
（2）作，可知，根据“弦，弧，圆心角之间的关系”得，进而得出，设，表示，，再表示，然后根据勾股定理得，再根据平行线的性质得，结合，根据得出比例式，并求出a值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点O作，垂足为点M．

则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
可设，则，，
∵为的直径，，
∴，
由勾股定理可得．
∵，，  
∴，．
∴，
即，
解得，
∴．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，两直线平行，同位角相等，构造辅助线是解题的关键．
6．(本题5分)（2023·浙江温州·统考一模）如图，是半圆O的直径，，在的延长线上取点D，连接并延长交半圆O的切线于点E．过点A作，交的延长线于点F．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．

【分析】（1）由切线的性质得到，推出，据此即可证明结论；
（2）证明，推出，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵是切线，

∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形和判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．(本题5分)（2023·浙江温州·校联考模拟预测）在中，是钝角，交的延长线于点D，E，F分别为、的中点，．连接，，设与交于点O．

(1)求证：．
(2)若，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】(1)首先根据E，F分别为、的中点，可证得，再根据，可证得
，即可证得四边形是平行四边形的，据此即可证得结论；
(2)首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，再由
，可求得，，再根据，即可求得的长，
最后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：，F分别为、的中点，
，．
，
，
∴四边形是平行四边形，
；
（2）解：，
．
又是的中点，
．
，
设，，
，
，
解得，
，．
∵四边形是平行四边形，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
8．(本题5分)（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，在边上取点，使，构造正方形，交于点，作交于点，于点．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA证明：；
（2）设，则，根据正方形的性质得：，得，列比例式可得的长，可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
（2）设，则，
≌．
，
，
四边形是正方形，
，
∽，
，
，
，
，
，经检验符合题意，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、正方形的性质、三角形相似的判定和性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
9．(本题5分)（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是半圆上的一点，与所在的直线互相垂直，于点，交于点．

(1)求证：平分；
(2)若点为弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据已知条件得出，则，根据等边对等角得出，等量代换得出，即可得证；
（2）连接，，得出四边形为菱形，进而得出为等边三角形，根据，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接， ，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连结，，

为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
而，
四边形为平行四边形，而，
四边形为菱形，
，
为等边三角形，
，而，
，
在中，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的相关定义，弧与弦的关系，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练运用以上知识是解题的关键．
10．(本题5分)（2023秋·浙江温州·九年级统考期末）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连接．

(1)求证：．
(2)当为等腰三角形时，求的长．
(3)当，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)长为或或；
(3)

【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解；
（3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接OD，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，CD长为6或4或．

（3）由（1）得．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
11．(本题5分)（2023·浙江温州·模拟预测）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．

(1)若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度．
(2)该校要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
【答案】(1)米
(2)米

【分析】（1）根据题意可得，，，米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【详解】（1）根据题意可知：
，，，米，
在中，（米，
在中，（米，
（米．
答：测温区域的宽度为米；
（2）根据题意可知：
，
在中，，
，
在中，，
，
解得米，
（米．
答：该设备的安装高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．
12．(本题5分)（2023·浙江温州·校考一模）如图，在中，，点在上，以为半径作半圆，与相切于点，与，分别交于点，．

(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，继而得出，根据平行线的性质得出，根据半径相等以及等边对等角得出，等量代换即可得证；
（2）连接，设圆的半径是，勾股定理求得，证明，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

半圆与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：连接，设圆的半径是，

，
，
，
，
，，
，
，
：：，
：：，
，
是圆的直径，
，
，，
，
：：，
：：，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．(本题5分)（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】首先根据四点共圆的性质得出四点共圆，进而求出，再利用，得出，即可求出答案．
【详解】作，连接．

∵，，
∴，
∴四点共圆，
∴，
又，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及其性质，四点共圆的性质，解题的关键是根据已知得出四点共圆．
14．(本题5分)（2022秋·浙江温州·九年级乐清外国语学校校考阶段练习）图1是一座人行天桥玩具积木，如图2是天桥一坡道的示意图，坡道长，坡角，于点C．在不改变坡道高度的情况下，现准备减小坡道的坡角，新坡角变为．

(1)求该坡道的高度．
(2)求坡道新起点D与原起点B之间的距离．（假设图中C，B，D三点在同一直线上，参考数据：，，）
【答案】(1)该坡道的高度为．
(2)坡道新起点D与原起点B之间的距离是．

【分析】（1）根据的正弦值直接进行计算即可；
（2）先根据三角函数值求出、的长，然后根据线段之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，

∴



答：该坡道的高度为．
（2）解：∵

，



，
∴．
答：坡道新起点D与原起点B之间的距离是．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
15．(本题5分)（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，，轴于点C，D是线段上一点，连接，作交x轴于点E，取的中点F，连接．设的长为a．

(1)求证：
(2)当等于中的一个内角时，求a的值．
(3)若点B绕F逆时针旋转90°的对应点恰好落在DE上时，请直接写出此时的a值______．
【答案】(1)见解析
(2)2或
(3)

【分析】（1）过点A作轴于点M，根据，可得，再证得，可证明，即可；
（2）由（1）得，可得到，从而得到，作交于H，则，，可证得，从而得到，，然后分两种情况，结合相似三角形的判定和性质，即可求解；
（3）连接，根据F为中点，可得到点F的坐标为，再由点B绕F逆时针旋转90°的对应点恰好落在DE上，可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而得到点F在直线上，再求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）证明∶如图，过点A作轴于点M，
∵，轴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
作交于H，则，，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴，，
①当时，得，
∴，
∴，
解得（其中舍去)
②当时， ，
∴，
∴，解得，（舍去），
综上所述：或．
（3）解：如图，连接，

根据题意得：点D的坐标为，
由（2）得：，
∴点E的坐标为，
∵F为中点，
∴点F的坐标为，
∵点B绕F逆时针旋转90°的对应点恰好落在DE上，
∴，
∵，F为中点，
∴，即，
∴，即点F在直线上，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图形和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．