专题07 不等式恒成立问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题07不等式恒成立问题
【方法技巧与总结】
1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
4.法则1若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
法则2若函数和满足下列条件：(1)及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么=。
法则3若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型。
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
，如满足条件，可继续使用洛必达法则。
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：端点恒成立
题型三：端点不成立
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
题型五：洛必达法则
题型六：同构法
题型七：必要性探路
题型八：max，min函数问题
题型九：构造函数技巧
题型十：双变量最值问题

【典例例题】
题型一：直接法
例1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．

例2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．

例3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．


题型二：端点恒成立
例4．（2022·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒有，求实数a的最小值.


例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例6．（2022·黑龙江·模拟预测（理））已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.


题型三：端点不成立
例7．（2022·辽宁大连·高三月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．


例8．（2022·陕西安康·高三期中（理））已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若恒成立，求a的取值范围.



例9．（2022·江苏镇江·高三期中）已知函数，.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.



题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例10．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．

例11．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．

例12．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
题型五：洛必达法则
例13：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.





例14.设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.


例15.设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．







题型六：同构法
例16．已知函数，
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间．
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若恒成立，求的取值范围；
②若仅有两个零点，求的取值范围．

例17.若对任意，恒有，求实数的最小值



例18.已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围



例19.对任意，不等式恒成立，求实数的最小值




题型七：必要性探路
例20.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.




例21.求k的最大整数值.




例22.求使得在上恒成立的最小整数



例23．（2022•苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．

题型八：max，min函数问题
例24．（2022·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
例25．（2022·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.




例26．（2022·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．




题型九：构造函数技巧
例27．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．

例28．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．

例29．已知函数．
（1）若在上单调，求的取值范围．
（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．



题型十：双变量最值问题
例30．（2022·山西晋中·三模（理））已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．




例31．（2022·浙江台州·三模）已知函数，其中.(为自然对数的底数)
（1）求在点处的切线方程；
（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.





例32．（2022·河南·郑州一中模拟预测（文））已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.






【过关测试】
1．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

2．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对恒成立,求实数b的最大值.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．

4．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数（其中e为自然对数的底数，…）．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的值．

6．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数的图像与直线相切.
(1)求实数a的值；
(2)当时，，求实数m的取值范围.

7．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知函数，其中
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上恒成立，求实数的取值范围

8．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

9．（2022·吉林·延边二中高二期中）设为实数，函数，.
(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.

10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.