四川省南充市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省南充市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省南充市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知，则的值为( )
A. B.– C. D.–
2、已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3、与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4、已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为( )
A.14 B.16 C. D.
5、下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6、已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为( )

A. B. C. D.不能确定
7、已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数( )

A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上单调递增 D.在上单调递减
8、圆的圆心、半径是( )
A.，4 B.，2 C.，4 D.，2
9、过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为( )
A.2 B.1 C. D.
10、2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C上一点，有如下说法：
① 双纽线C关于原点O中心对称；
② ；
③ 双纽线C上满足的点P有两个；
④ 的最大值为.
其中所有正确的说法为( )

A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
11、已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，,，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12、已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知抛物线的焦点在直线上，则______.
14、质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为___________.
15、已知，则直线必过定点_______
16、已知曲线，直线，曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，则a的取值范围是_____________.
三、解答题
17、已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线交椭圆C于A，B两点，O是坐标原点，求的面积.
18、圆C的圆心为，且过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线与圆C交M,N两点，且，求k.
19、如图，直三棱柱的底面为正三角形，，点分别在上，且, ，.

(1)证明：平面平面EDC；
(2)求平面与平面DEC夹角的余弦值.
20、已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在R上单调递减，求实数a的取值范围.
21、已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.
22、已知的两个顶点A,B分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角A,B,C满足关系式.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程.
23、已知二次函数.
(1)判断与的大小；
(2)判断在区间与的平均变化率的大小.
参考答案
1、答案：C
解析：，
所以.
故选：C.
2、答案：D
解析：因为，所以，，
所以切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，
故选：D.
3、答案：B
解析：椭圆的焦点为.
因为所求双曲线的离心率，
所以其实半轴长为2，虚半轴长为，
故所求双曲线的方程为.
故选：B
4、答案：C
解析：由题可知，，的周长为.
故选：C
5、答案：C
解析：A选项，中，中，所以不是相同曲线.
B选项，中，中，所以不是相同曲线.
C选项，，是相同曲线，C选项正确.
D选项，中，中，，所以不是相同曲线.
故选：C
6、答案：C
解析：记，，
由图易知，所以.
故选：C.
7、答案：D
解析：根据导函数的图象可知，在区间,上,递减，
在区间上，,递增，
所以D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
8、答案：D
解析：圆的圆心为半径
故选：D
9、答案：D
解析：令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，

则，而，于是，又，
因此为正三角形，，
所以连接两切点线段的长为.
故选：D
10、答案：D
解析：对于①，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C，所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以①正确；
对于②，根据三角形的等面积法可知，
即，所以，所以②正确；
对于③，若双纽线C上的点P满足，则点P在y轴上，即，
所以，得，所以这样的点P只有一个，所以③错误；
对于④，因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，所以④正确，
故选：D
11、答案：B
解析：对于和，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得，
如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，

设，则，，故.
因为，所以.
在直角三角形中，，，，所以，所以，解得.
设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以，
即，解得，
故选：B.
12、答案：C
解析：令，，
则，故在上单调递减，
所以，即，即，故；
因为，，
所以，故，即，即；
综上：.
故选：C.
13、答案：6
解析：抛物线的焦点为；
焦点在直线上


故答案为：0
14、答案：
解析：因为，所以，所以，
所以质点M在时的瞬时速度为.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为，所以，
整理得，
即直线必过定点.
故答案为：.
16、答案：
解析：由，得曲线C是以为圆心，半径为2的圆的上半部分.
在曲线C中，令，得或4，将代入直线l得，
将代入直线l得，
当直线l与曲线C相切时，由圆心到直线的距离为2，得，
所以当或时，直线l与曲线C有一个公共点；
当时，直线l与曲线C有两个公共点.如下图所示：

记与曲线C相切的直线为，
过且斜率为1的直线记为.
当直线与距离为1时，即，或，
取，此时曲线C上有2个点到直线距离为1；
当直线与距离为1时，即，或，
取，此时恰有3个点到直线l的距离为1.
.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）联立方程组消去y，得.
解得或不妨设，，则.
18、答案：(1)
(2)或
解析：（1）设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为：；
（2）设圆心到直线的距离为d，
则，
由垂径定理得：，
即，解得：或.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取BC，中点设为O,，连接OA，
因为直三棱柱，所以平面平面，，
又为正三角形，，平面平面，面ABC，
所以平面，因为BC,平面，所以OA,OB,两两垂直，
以O为原点，OA,OB,为x,y,z轴建立如图所示坐标系，

则由题意可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面EDC的法向量为，
则，取，
因为，所以平面平面EDC.
（2）由（1）得，
设平面的法向量，
则，取，
设平面与平面DEC夹角为，
则.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为，所以，所以.
因为，所以，
所以所求切线方程为，
即.
（2）因为在R上单调递减，所以在R上恒成立.
因为，
所以，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故实数a的取值范围是.
21、答案：(1)
(2)证明见解析，定值为
解析：（1）由，两点关于y轴对称，可得C经过，两点.
与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以不在C上.
所以在C上.
则，解得，
故C的方程为.
（2）当切线l的斜率不存在时，得.
当时，可得，.
，则.
当时，同理可证.
当切线l的斜率存在时，设.
因为l与圆相切，
所以圆心到l的距离为，
即，
联立得.
设，，则，.


.
由，得，则.
综上，若圆的切线l与C交于点A，B，则，
所以由等面积法可得，
所以为定值，定值为.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，,,

A,B分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段AB的长度；
（2）中根据正弦定理得：(R为外接圆半径)，
，,
，
,
.
C点的轨迹是以A,B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，
,,
顶点C的轨迹方程为
23、答案：(1)