2022-2023学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
5．某市射击队进行队内测试，甲、乙、丙、丁四人进行十轮射击后，每个人的十次成绩的平均分和方差如下表所示：
班级
甲
乙
丙
丁
平均分
9.9
9.8
9.9
9.0
方差
4.2
5.2
5.2
4.2
则哪位队员的成绩更好（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．将函数y＝3x﹣4的图象向上平移2个单位长度得到的函数图象的解析式是（　　）
A．y＝3x﹣6 B．y＝3x+2 C．y＝3x﹣2 D．y＝3x﹣10
7．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
8．如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），则点D的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，3）
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　）

A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个能与合并的二次根式　 　．
12．已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），则k＝　 　．
13．某学生平时考核成绩为95分，期末测试成绩为90分，该校规定平时考核成绩占20%，期末测试成绩占80%，则该生的综合成绩为 　 　分．
14．已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　 　．

15．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则BE的长为 　 　．

三、解答题（共8题，共75分）
16．计算：
（1）2﹣+；
（2）（+）（﹣）﹣（﹣1）2．
17．已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点（m，−2）在这个函数的图象上，求m的值．
（3）试判断点（1，−3）是否在此函数图象上，说明理由．
18．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△ABC的面积．
（2）通过计算判断△ABC的形状．

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，

20．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？

21．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当A型电脑购买多少台时，销售的总利润最大？最大利润为多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线y＝x上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在x轴上，直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）求出n的值；
（2）求直线AC的解析式；
（3）根据图象，写出kx+b＜x的解集．

23．如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．
问题发现：
如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　 　．
知识迁移：
已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．

（1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　 　．
（2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
解：A选项，﹣3是负数，故该选项不符合题意；
B选项，是正数，故该选项符合题意；
C选项，当a＜0时，不是二次根式，故该选项不符合题意；
D选项，当x＜0时，不是二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式，掌握一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．
2．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据t与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
5．某市射击队进行队内测试，甲、乙、丙、丁四人进行十轮射击后，每个人的十次成绩的平均分和方差如下表所示：
班级
甲
乙
丙
丁
平均分
9.9
9.8
9.9
9.0
方差
4.2
5.2
5.2
4.2
则哪位队员的成绩更好（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙队员，
从方差看，甲、丁方差小，发挥最稳定，
所以成绩好且发挥稳定的队员是甲．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
6．将函数y＝3x﹣4的图象向上平移2个单位长度得到的函数图象的解析式是（　　）
A．y＝3x﹣6 B．y＝3x+2 C．y＝3x﹣2 D．y＝3x﹣10
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
解：将函数y＝3x﹣4的图象向上平移2个单位所得函数图象的解析式为y＝3x﹣4+2，即y＝3x﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
7．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
【分析】通过比较正方形和矩形的性质的不同即可得出结论．
解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形，矩形的性质是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），则点D的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，3）
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，再由点C的坐标和点A的坐标得出OA＝2，AC＝6，则DE＝2，AE＝3，即可解决问题．
解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），
∴OA＝2，AC＝6，
∴BE＝DE＝OA＝2，AE＝3，
∴BD＝2DE＝4，
∴点D的坐标为：（3，4），
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　）

A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个能与合并的二次根式　2　．
【分析】根据同类二次根式的根指数相同，被开方数相同可写出 的同类二次根式．
解：由题意得：2 是 的同类二次根式．
故填：2 ．
【点评】本题考查同类二次根式的知识，比较简单，注意掌握同类根式的根指数相同，被开方数相同．
12．已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），则k＝　1　．
【分析】将点P坐标代入解析式可求k的值．
解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），
∴0＝﹣k+1
∴k＝1
故答案为：1
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
13．某学生平时考核成绩为95分，期末测试成绩为90分，该校规定平时考核成绩占20%，期末测试成绩占80%，则该生的综合成绩为 　91　分．
【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解．
解：该生的综合成绩为95×20%+90×80%
＝19+72
＝91（分）．
故答案为：91．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式．
14．已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　8cm　．

【分析】根据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
∴DF＝AC＝×6＝3（cm），
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则BE的长为 　4或4　．

【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°，
如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4．
此时BE＝AB﹣AE＝4．
当BE＝DE时，12﹣AE＝，
解得AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
此时BE＝AB﹣AE＝4．
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为4或4，
故答案为：4或4．

【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理（如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2）是解题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．计算：
（1）2﹣+；
（2）（+）（﹣）﹣（﹣1）2．
【分析】（1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
解：（1）原式＝6﹣5+2
＝3．
（2）原式＝5﹣6﹣（5﹣2+1）
＝﹣1﹣（6﹣2）
＝﹣1﹣6+2
＝﹣7+2．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
17．已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点（m，−2）在这个函数的图象上，求m的值．
（3）试判断点（1，−3）是否在此函数图象上，说明理由．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y+6＝k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式；
（2）把（m，﹣2）代入一次函数解析式得到关于m的方程，然后解方程即可；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
解：（1）设y+6＝k（x+1），
把x＝3，y＝2代入得2+6＝k×（3+1），
解得k＝2，
∴y+6＝2（x+1），
∴y与x的函数关系式为y＝2x﹣4；
（2）把（m，﹣2）代入y＝2x﹣4得2m﹣4＝﹣2，
解得m＝1，
即m的值为1；
（3）不在．
理由如下：∵x＝1时，y＝2x﹣4＝2×1﹣4＝﹣2，
∴点（1，−3）不在函数y＝2x﹣4的图象上．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
18．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△ABC的面积．
（2）通过计算判断△ABC的形状．

【分析】（1）利用大正方形的面积减去三个三角形的面积，进行计算即可解答．
（2）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
△ABC的面积＝4×4﹣×4×3﹣×4×2﹣×2×1
＝16﹣6﹣4﹣1
＝5；
（2）由题意得：
AC2＝22+42＝20，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，

【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D＝90°，从而判定矩形；
（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可．
解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．

（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
20．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　87.5　，b＝　88　，m＝　40　；
（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？

【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
解：（1）九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数a＝＝87.5；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%，故m＝40，
故答案为：87.5；88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）600×+800×40%＝180+320＝500（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
21．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当A型电脑购买多少台时，销售的总利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）根据题意，可以写出y关于x的函数表达式；
（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到当A型电脑购买多少台时，销售的总利润最大，最大利润为多少．
解：（1）由题意可得，
y＝400x+500（100﹣x）＝400x+50000﹣500x＝﹣100x+50000，
即y关于x的函数表达式是y＝﹣100x+50000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得x≥25，
∵y＝﹣100x+50000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝47500，
答：当A型电脑购买25台时，销售的总利润最大，最大利润为47500元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线y＝x上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在x轴上，直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）求出n的值；
（2）求直线AC的解析式；
（3）根据图象，写出kx+b＜x的解集．

【分析】（1）把A的坐标（6，n）代入y＝x求解即可；
（2）根据勾股定理求得C点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）根据图形，找出点A右边的部分的x的取值范围即可．
解：（1）把x＝6代入得y＝8，
∴n的值为8；

（2）过点A作AD⊥OC于点D，由（1）得A（6，8），
∴OD＝6，AD＝8，
在Rt△OAD中，
OA＝＝＝10，
∵四边形OABC为菱形
∴OC＝OA＝10，
∴C（10，0），
把A（6，8）、C（10，0）代入函数解析式y＝kx+b，得，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝﹣2x+20；

（3）根据图象，kx+b＜x的解集为x＞6．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．
23．如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．
问题发现：
如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　3　．
知识迁移：
已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．

（1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　BE＝FG　．
（2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积．

【分析】问题发现：根据全等三角形的性质得CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，利用勾股定理即可求解；
（1）如图②，过点D作DH⊥AE于H，可得四边形DHEG是矩形，DH＝EG，证明△AHD≌△CFB（AAS），则DH＝BF，可得BF＝EG，即可得出BE＝FG；
（2）如图③，同（2）的方法即可求解；
（3）分两种情况：①当直线BP与BC边的夹角为60°时，②当直线BP与AB边的夹角为60°时，根据含30°角的直角三角形的性质求出正方形ABCD的边长，即可求解．
解：问题发现：由题意得：Rt△CDE≌Rt△ABG，
∴CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，
∴DE＝＝3，
故答案为：3；
（1）如图②，过点D作DH⊥AE于H，

∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE，
∴四边形DHEG是矩形，∠ADH+∠DAH＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴DH＝EG，
∵四边形ABCD是正方形形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝CB，
∴∠BAE+∠DAH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADH＝∠CBF，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴DH＝BF，
∵DH＝EG，
∴BF＝EG，
∴BF﹣EF＝EG﹣EF，
∴BE＝FG，
故答案为：BE＝FG；
（2）若点P在CD的延长线上，（1）中结论成立，理由如下：
如图③，过点D作DH⊥AE于H，

∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE，
∴四边形DHFG是矩形，∠CDH+∠DCH＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∠CHD＝∠AEB＝90°，
∴DH＝FG，
∵四边形ABCD是正方形形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∴∠BCF+∠DCH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠BCF＝∠CDH＝∠ABE，
∴△CHD≌△AEB（AAS），
∴DH＝BE，
∵DH＝FG，
∴BE＝FG；
（3）①当直线BP与BC边的夹角为60°时，如图，
分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H，

∵∠CBP＝60°，CF⊥BP，
∴∠ABE＝30°．
∵BE＝FG，FG＝3，
∴BE＝3，
∴AE＝，AB＝2，
∴正方形ABCD的面积为2×2＝12；
②当直线BP与AB边的夹角为60°时，如图，
分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H，

∵∠ABP＝60°，AE⊥BP，
∴∠BAE＝30°．
∵BE＝FG，FG＝3，
∴BE＝3，
∴AB＝2BE＝6，
∴正方形ABCD的面积为6×6＝36．
综上，正方形ABCD的面积为12或36．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．