2023届高三全国各地试题精选03 复数

这是一份2023届高三全国各地试题精选03 复数，共17页。试卷主要包含了多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
03 复数

一、多选题
1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，是复数，则下列命题中正确的是（    ）
A．若是纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为
2．（2023·江苏盐城·校考三模）关于复数、，下列说法正确的是（    ）
A． B．若，
C．若，则 D．
3．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）下列说法正确的是（    ）
A．设是非零向量，且，则
B．若为复数，则
C．设是非零向量，若，则
D．设为复数，若.，则
4．（2023春·河南信阳·高一校联考期中）下列说法正确的有（    ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若且，则和在上的投影向量相等
D．若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为
5．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知复数，，则（    ）
A．
B．复数的虚部为2
C．复数与在复平面内所对应的点位于同一象限
D．复数在复平面内对应的点在函数的图像上
6．（2023春·甘肃·高一校联考期中）已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（    ）
A．在复平面内对应的点在第一象限
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值为
7．（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程的复数解为，，则（    ）
A．
B．与互为共轭复数
C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若，则的最小值是3
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）设为虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点可能位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023春·山西太原·高一统考期中）已知复数、，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．若，则
C．若，则、中至少有个是
D．若且，则

二、单选题
11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ）
A． B． C．2 D．3
12．（2022·北京石景山·校考模拟预测）设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．（2023·山东德州·三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
15．（2023·广东深圳·校考一模）已知复数，则的虚部为（    ）
A． B． C． D．
16．（重庆市2023届高三临门一卷（三）数学试题）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（    ）
A． B．复数z的共轭复数是
C．的实部为 D．
17．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a的值为（    ）
A．1 B．2 C． D．
18．（2023·全国·高一专题练习）已知复数，，则（    ）
A． B．的共轭复数为
C．复数对应的点位于第二象限 D．复数为实数
19．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）若复数满足，则的共复数的虚部是（    ）
A． B． C． D．
20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
21．（2023·山东潍坊·三模）已知为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，常用的欧拉公式有.若复数z满足，则（    ）
A． B．1 C． D．
23．（2023·江苏·高一专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是（    ）
A． B．1 C．2 D．
24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数满足在复平面内对应的点为，则（    ）
A． B． C． D．
25．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）规定运算，若复数满足，则的值为（    ）
A． B． C． D．
26．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ）
A． B． C． D．
28．（2023春·河南信阳·高一校联考期中）已知为虚数单位，复数，，则（    ）
A．的共轭复数为 B．的虚部是
C．为实数 D．
29．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）
A． B． C． D．
30．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

参考答案：
1．CD
【分析】根据纯虚数的概念及乘法运算判断A，取特殊值判断B，利用复数的模及共轭复数的乘法运算判断C，由复数模及不等式的性质判断D.
【解析】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A错误；
对于B，取，，满足，则不成立，所以B错误；
对于C，设，因为，所以，
因为，，所以，所以C正确；
对于D，设，由，得，则可得，
所以，时取等号，所以D正确.
故选：BD
2．AD
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项.
【解析】设，.
对于A选项，，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，
但，，则，B错；
对于C选项，取，，则，，
此时，，但，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：AD.
3．BC
【分析】确定或，A错误，计算得到BC正确，举反例，，得到D错误，得到答案.
【解析】对选项A：是非零向量，且，则或，错误；
对选项B：设，，，，
，正确；
对选项C：，则，整理得到，正确；
对选项D：取，，满足，，错误；
故选：BC
4．CD
【分析】取可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D.
【解析】选项A，若，满足，，但与不一定共线，故A错误；
选项B，因为向量，，
所以，故B错误；
选项C，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量，所以．故C正确；
选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如图所示，则，故D正确．
故选：CD．
  
5．BC
【分析】直接求出模，即可判断A；直接求出，即可判断B；利用复数的几何意义判断C；把复数对应的点代入直接判断.
【解析】由题可知，故A错误；
，故复数的虚部为2，故B正确；
复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，在复平面内所对应的点也位于第一象限，故C正确；
复数在复平面内对应的点为，因为当时，，所以复数在复平面内对应的点不在函数的图像上，故D错误.
故选：BC
6．AD
【分析】由复数的除法运算求出，根据复数的几何意义可判断ACD，根据复数的概念可判断B.
【解析】∵，
∴在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；
的虚部是，故B不正确；
，故C不正确；
设，，，由得，
则点在以为圆心，以1为半径的圆上，
则到的距离的最大值为，即的最大值为，故D正确．
故选：AD
7．BD
【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答.
【解析】因为，因此不妨令方程的复数解，
对于A，，A错误；
对于B，与互为共轭复数，B正确；
对于C，，由，得，
则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；
对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，
因此，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD
8．BCD
【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断.
【解析】对于A，，不一定为实数;
对于 B， ;
对于 C，;
对于 D，.
故选：BCD.
9．AD
【分析】分和两种情况计算，再结合复数的几何意义即可求解.
【解析】当时，，对应的点在第一象限；
当时，，对应的点在第四象限.
故选：AD
10．ACD
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项.
【解析】设，，
对于A选项，，
所以，
，
因为
，
则，
所以，，A对；
对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错；
对于C选项，若，假设、均不为零，则，，
则存在、，使得，，
则，
因为，则、不可能同时为零，
所以，，
故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；
对于D选项，，则，
因为，则，由C选项可知，，即，D对.
故选：ACD.
11．D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【解析】，
由已知得，解得，
故选：D
12．C
【分析】由复数的除法运算、共轭复数的概念及几何意义判定即可.
【解析】计算，故其共轭复数为：，
对应的点为，显然位于第三象限.
故选：C.
13．C
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【解析】设，，



所以
所以z在复平面内所对应的点在第三象限.
故选：C.
14．C
【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.
【解析】因为复数满足：，即，
故或，
因为复数所对应的点在第四象限，
故复数，所以.
故选:C.
15．D
【分析】利用复数四则运算求，结合共轭复数、虚部概念得答案.
【解析】由题可得，
则，故虚部为.
故选：D.
16．C
【分析】利用复数的几何意义可得，即可根据选项逐一求解.
【解析】由题意可知，所以，故B错误，
，故A错误，
，故实部为，故C正确，
，则，故D错误，
故选：C
17．B
【分析】先化简复数z，然后根据实部为0可解.
【解析】，
因为复数z对应点在虚轴上，

所以，解得.
故选：B
18．A
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.
【解析】因为，，则，，故A正确；
的共轭复数为，故B错误；
，复数对应的点位于第四象限，故C错误；
为纯虚数，故D错误．
故选：A.
19．A
【分析】首先根据复数的除法求出，再根据共轭复数的定义求出，即可得出答案．
【解析】因为，
所以，
所以，
所以的虚部是，
故选：A．
20．A
【分析】先求出，再求出即得解.
【解析】因为，即，
所以，
所以，其所对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
21．A
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解析】，
因为复数是纯虚数
所以，即，故不同时为，
所以，
当时，不是纯虚数，
所以“复数是纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
22．A
【分析】由欧拉公式计算出，然后用复数的运算法则计算即可.
【解析】在中，令，得，所以，
所以，所以.
故选：A.
23．D
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.
【解析】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：
由可知：复数z在复平面内对应的点
到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为，
故选：D
24．D
【分析】利用复数的几何意义计算即可.
【解析】由在复平面内对应的点为可得，
又，即.
故选：D．
25．D
【分析】根据所给运算及复数代数形式的乘法运算化简即可.
【解析】因为，所以，
即，所以.
故选：D
26．B
【分析】根据复数的运算法则，求出，再根据共轭复数的定义得到.
【解析】因为，，
所以.
故选：B.
27．B
【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可.
【解析】由题知，
复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为，
故选：B.
28．D
【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可.
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，的虚部是2，故B错误；
对于C，为虚数，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
29．A
【分析】由复数的几何意义结合图象可得.
【解析】
如图，由题意可知，与轴夹角为，

绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，
所以的坐标为，所以对应的复数为.
故选：A.
30．C
【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出，最后确认是充要条件.
【解析】依题意，，
，
故，
若该式为纯虚数，则，解得.
故选：C.