2023届高三全国各地试题精选15 计数原理

这是一份2023届高三全国各地试题精选15 计数原理，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
15计数原理

一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（    ）种
A．6 B．10 C．18 D．36
2．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（    ）
A．48 B．36 C．24 D．12
3．（2023·全国·模拟预测）为躲过了新冠，躲过了甲流，没躲过呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才过去不久，呼吸道感染的老人又多起来.“最近，呼吸道合胞病毒感染处于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大儿院占据首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一种什么病毒？RSV为副黏病毒科肺炎病毒属的单股负链RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常见病原，RSV通常于上呼吸道中开始感染，引发的症状易与普通感冒相混淆，出现呼吸系统后遗症.5月3日，葛兰素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群体预防RSV感染导致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.该产品也是全球首款获批上市的RSV疫苗.为研究的临床试验，旨在评估单剂量和接种Arexvy对比安慰剂对RSV-LRTD的预防效果.该实验有3接种组，现有8名志愿者将被派往这3接种组安排接种工作，每个接种组至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（　　）
A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种
4．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）
A．12 B． C．6 D．
5．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（    ）
A．70 B．56 C．或 D．
7．（2023·河南郑州·校考模拟预测）在的展开式中，项的系数为（    ）
A．1680 B．210 C．－210 D．－1680
8．（2023·河北·校联考一模）为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（    ）
A．144种 B．162种 C．216种 D．288种
9．（2023·山东德州·三模）若，则（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

二、多选题
11．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（    ）
A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64
C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项
12．（2022·江苏·模拟预测）若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（    ）
A． B．
C．对任意均有 D．存在使得
13．（2023·广东佛山·校考模拟预测）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．各项的二项式系数之和为1024
C．
D．各项的系数之和为1024
14．（2023·福建宁德·统考模拟预测）若，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
15．（2023·浙江·校联考三模）已知的展开式中各项系数的和为4，则实数的值为___________.
16．（2023·北京密云·统考三模）已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________.
17．（2023·云南保山·统考二模）春节（Spring Festival），即中国农历新年（Chinese New Year），俗称“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节.某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有______种.
18．（2023·广东广州·广州六中校考三模）有个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边的身高都递减，则不同的排法有____种.（用数字作答）
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的种数是_________．
20．（2023·浙江·校联考二模）展开式中的系数为__________.

参考答案：
1．C
【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解.
【解析】解：先安排甲乙共有,再安排丙丁共有,
所以根据分步乘法计数原理得总共有（种），
故选:C.
2．B
【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.
【解析】当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有种；
当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有.
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为种.
故选：B
3．A
【分析】根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4，3、3、2．以此可解决此题．
【解析】根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4；3、3、2.
不同的安排方法共有（种）．
故选：A．
4．D
【分析】根据题意，由二项式的展开式可得只有中的与中的相乘才会得到，然后代入计算，即可得到结果.
【解析】因为，
所以只有中的与中的相乘才会得到，
即，所以的系数为.
故选:D.
5．B
【分析】 中，分别令和，将所得两个方程相加即可得到结果．
【解析】在 中，
令，得，
令，得，
两式相加得，
∴，∴．
故选：B．
6．D
【分析】首先根据通项公式求系数，再结合二项式系数的最大值，即可求解.
【解析】的展开式的通项公式为，，由二项式系数中，最大，此时该二项展开式中第5项的系数最大，∴的展开式中系数最大的项为，
故选：D．
7．A
【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可.
【解析】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，
余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，
最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，
而，所以项的系数为.
故答案为：A.
8．A
【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.
【解析】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，
剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；
第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，
分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，
从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.
故这三名同学选取图书的不同情况有种.
故选：A.
9．D
【分析】将化为，利用二项式通项公式可求得，判断A；根据二项式的系数和式的特征，利用赋值法可分别判断B，C，D.
【解析】由题意可知，故，A错误；
由，
令，可得，B错误；
令，则，
故，C错误；
令，则，
故，D正确，
故选：D
10．C
【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.
【解析】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，

②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，
所以不同的安排方法有种.
故选：C
11．BD
【分析】由二项式定理展开式的性质分析ACD三个选项，赋值法令计算B选项，可得结果.
【解析】A选项：的展开式中系数分别为：，同理的展开式中系数分别为：，则展开式的系数中存在系数为的项，即A错误；
B选项：取，可得系数和为，即B正确；
C选项：含的项为，即C错误；
D选项：展开式各项可表示为，
若为有理项，则m为偶数，n为奇数，所以m为0或2，或3，共有四项，即D正确．
故选：BD
12．ABC
【分析】根据所给二项式，赋值，分别求得、、，根据函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案.
【解析】由题意得：令，可得，
求所有项的系数绝对值之和，等价于求的所有项系数和，
令，可得，
二项式系数之和为，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：，
因为，且在上单调递增，
所以的最小值为，所以，，故B正确
对于C、D：在上为减函数，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：ABC
13．ABC
【分析】根据题意，由二项式系数的对称性即可判断A，由二项式系数和的公式即可判断B，由二项式的展开式的通项公式即可判断C，赋值令即可判断D.
【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，选项A正确；
所以的展开式中二项式系数之和为，故选项B正确；
根据二项式定理知的通项式为，令得，所以的展开式中常数项为，所以，
解得：，故选项C正确；
令得，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误.
故选:ABC.
14．ABD
【分析】利用赋值法，令，可判断A；令，，计算求解可判断B；由，利用二项展开式的通项求解可判断C；两边求导，令，可判断D.
【解析】令，则，即，故A正确；
令，则，
令，则，
则，故B正确；
，则，令，则，故C错误；
由两边求导，
得，
令，则，故D正确.
故选：ABD.
15．1
【分析】令即可求解.
【解析】令，可得，解得.
故答案为:1.
16．
【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和.
【解析】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得，
因此，二项式系数之和为.
故答案为：.
17．36
【分析】先分为3组再排列，利用分步乘法计数原理得解.
【解析】先选取2人作为一组，领取相同礼品，共有3组安排三种不同的礼品，
由分步乘法计数原理知，共有种.
故答案为：36
18．
【分析】根据排队问题中的顺序固定问题只选不排，以及分步计数原理计算求解即可．
【解析】最高的学生站在中间，有种排法，
再从其余四个同学中任意选取两个，站在最高同学的左边，由于身高从中间到左边递减，所以共有种不同排法，
最后两名同学站在最高同学的右边，按身高从中间到右边递减，共有种排法，
则个身高均不相等的学生排成一排合影，不同的排法有种，
故答案为：
19．14
【分析】分两种情况：“甲最后出场或者非最后出场”进行讨论即可.
【解析】若甲最后出场，其余三人全排列，则有种；
若甲不在最后出场，则甲有种方式出场，乙不是最后，排完甲，乙也有种，剩余两人全排列，则有种，于是共有种．
故答案为：
20．9
【分析】利用二项展开式的通项，分别求出，的展开式中的系数，即可得出答案.
【解析】∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
故展开式中的系数为．
故答案为：9．