2023武汉中考数学真题汇编

这是一份2023武汉中考数学真题汇编，共64页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
目录
模块一：期末真题
2018年湖北省武汉市中考数学试卷 3
2019年湖北省武汉市中考数学试卷 7
2020年湖北省武汉市中考数学试卷 12
2021年湖北省武汉市中考数学试卷 17
2022年湖北省武汉市中考数学试卷 23

模块二：参考答案
2018年湖北省武汉市中考数学试卷答案 30
2019年湖北省武汉市中考数学试卷答案 38
2020年湖北省武汉市中考数学试卷答案 46
2021年湖北省武汉市中考数学试卷答案 51
2022年湖北省武汉市中考数学试卷答案 58

2018年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（　　）
A．3℃ B．﹣3℃ C．11℃ D．﹣11℃
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2
3．（3分）计算3x2﹣x2的结果是（　　）
A．2 B．2x2 C．2x D．4x2
4．（3分）五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、40
5．（3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（　　）
A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6
6．（3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）
7．（3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）将正整数1至2018按一定规律排列如下：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
10．（3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是　 　
12．（3分）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率（精确到0.01）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是　 　（精确到0.1）．
13．（3分）计算﹣的结果是　 　．
14．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　 　．
15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　 　m．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程组：

18． （8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．




19．（8分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
阅读量/本
学生人数
1
15
2
a
3
b
4
5
学生读书数量统计表
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
20．（8分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）．
（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？
（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．
21．（8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．
22．（10分）已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．


23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．

24．（12分）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．


2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2019的相反数是（　　）
A．2019 B．﹣2019 C． D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是　 　．
12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是　 　．
13．（3分）计算﹣的结果是　 　．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 　 　．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
16．（3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3﹣x2•x4．
18．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　 　名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．

21．（8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是　 　元/件；当售价是　 　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　 　元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
①如图2，若n＝1，求证：＝．
②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）

24．（12分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．
①若AP＝AQ，求点P的横坐标；
②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．

2020年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2
3．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
8．（3分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）

A．32 B．34 C．36 D．38
9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．4
10．（3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．
把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）

A．160 B．128 C．80 D．48

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是　 　．
13．（3分）计算﹣的结果是　 　．
14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　 　．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是　 　（填写序号）．
16．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．
18．（8分）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．

19．（8分）为改善民生，提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 　 　名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
22．（10分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．

23．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．

24．（12分）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝﹣x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．


2021年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）实数3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）计算（﹣a2）3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　）
A．8（x﹣3）＝7（x+4） B．8x+3＝7x﹣4
C．＝ D．＝
8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）

A．h B．h C．h D．h
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）

A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 　 　．
城市
北京
上海
广州
重庆
成都
常住人口数万
2189
2487
1868
3205
2094
13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　 　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　 　．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 　 　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．


2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）实数2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B．﹣ C． D．2022
2．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）计算（2a4）3的结果是（　　）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
7．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　）

A．cm B．8cm C．6cm D．10cm
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　 　．
尺码/cm
24
24.5
25
25.5
26
销售量/双
1
3
10
4
2
13．（3分）计算﹣的结果是 　 　．
14．（3分）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　 　m．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m＝，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　 　．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　 　，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 　 　，条形统计图中C项活动的人数是 　 　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

21．（8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．


22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．

小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s
0
1
2
3
4
运动速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
运动距离y/cm
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．


24．（12分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．



2018年湖北省武汉市中考数学试卷答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．A； 2．D； 3．B； 4．D； 5．B； 6．A； 7．C； 8．C； 9．D； 10．B；
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．； 12．0.9； 13．； 14．30°或150°； 15．24； 16．；
三、解答题（共8题，共72分）
17．【解答】解：，
②﹣①得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝4，
则方程组的解为．
18．【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
19．【解答】解：（1）由题意可得，
m＝15÷30%＝50，b＝50×40%＝20，a＝50﹣15﹣20﹣5＝10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×＝1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
20．【解答】解：设购买A型钢板x块，则购买B型钢板（100﹣x）块，
根据题意得，，
解得，20≤x≤25，
∵x为整数，
∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案，
即：A、B型钢板的购买方案共有6种；

（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝100（2x+100﹣x）+120（x+300﹣3x）＝100x+10000﹣240x+36000＝﹣140x+46000，
∵﹣140＜0，
∴当x＝20时，wmax＝﹣140×20+46000＝43200元，
即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．
21．【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∵PA＝PB，PO＝PO，OA＝OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．

（2）设OP交AB于K．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∵OA＝OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO＝OC，
∴AK＝BK，
∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a，
∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，
∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，
∴BC＝PB＝PA＝2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2＝PK•PO，设PK＝x，
则有：x2+ax﹣4a2＝0，
解得x＝a（负根已经舍弃），
∴PK＝a，
∵PK∥BC，
∴＝＝．

22．【解答】解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB＝PC＝3，
∴C（1，3）．

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y＝上，
∴t（t+2）＝8，
∴t＝﹣4 或2，


（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y＝﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB＝OH，AB＝D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y＝﹣上，
∴mn＝﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n＝0或mn＝﹣8．
23．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；

（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC＝＝＝＝
设MN＝2m，PN＝m，
根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，
∴tanC＝＝；

（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴＝
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．


24．【解答】解：（1）由题意知，
解得：b＝2、c＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；

（2）如图1，

∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG＝2，
∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，
解得：x＝＝，
则xN＝、xM＝，
由xN﹣xM＝1得＝1，
∴k＝±3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3；

（3）如图2，

设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，＝，
∴＝，
∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时，＝，
∴＝，
∴t＝（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
Δ＝（1+m）2﹣8＝0，
解得：m＝2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，
方程②有一个实数根t＝，
∴m＝2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）2+2＝0，
解得：m＝2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．

2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．B； 2．C； 3．B； 4．D； 5．A； 6．A； 7．C； 8．D； 9．A； 10．C；
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．4； 12．23℃； 13．； 14．21°； 15．x1＝﹣2，x2＝5； 16．2；
三、解答题（共8题，共72分）
17．【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4
＝8x6﹣x6
＝7x6．
18．【解答】证明一：∵∠A＝∠1，
∴AE∥BF，
∴∠2＝∠E．
∵CE∥DF，
∴∠2＝∠F，
∴∠E＝∠F．
证明二：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
19．【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，
故答案为50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下

（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
20．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；
（2）如图所示，点G即为所求；
（3）如图所示，线段EM即为所求．

21．【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴＝，
∴OA2＝AD•BC，
∴（AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；
解法2：如图1﹣1，过D作DG⊥BC于点G，
则四边形ABGD是矩形，
∴AB＝DG，AD＝BG，
由切线长定理得：AD＝ED，BC＝EC，
∴CD＝DE+EC＝AD+BC，CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝（AD+BC）2﹣（BC﹣AD）2
＝AD2+2AD•BC+BC2﹣（AD2﹣2AD•BC+BC2）
＝4AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝OA，
Rt△BOC中，BC＝OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．



22．【解答】解：（1）①依题意设y＝kx+b，
则有
解得：
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，
设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有，
解得：，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；

（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m＝﹣2（x﹣）2+m2﹣60m+1800，
∵﹣2＜0，对称轴x＞70，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤65，∴w随x的增大而增大，
当x＝65时，w最大＝1400，
即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，
解得：m＝5．
23．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴＝＝．

②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．
则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，
∵•AM•BP＝•AB•BM，
∴PB＝，
∵•BH•CN＝•CH•BC，
∴CN＝，
∵CN⊥BH，PM⊥BH，
∴MP∥CN，∵CM＝BM，
∴PN＝BP＝，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．
方法二：易证：＝＝＝，
∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．
解法二：证明△MBP∽△MAB，推出MB2＝MP•MA，因为MB＝MC，
推出MC2＝MP•MA，推出△CMP∽△AMC，推出∠ACM＝∠CPM，推出∠BPQ＝∠CAB，由此可得结论．
24．【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点
∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴A（3，0），C（0，﹣3），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴b＝4，
∴D（0，4），
∵AP＝AQ，PQ∥y轴，
∴P、Q两点关于x轴对称，
设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），
∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，
由，得x1＝3，x2＝，
∴xQ＝，
∴xP＝xQ＝，
∴P点横坐标为；
②设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵PA＝PQ，
∴（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，
∴|m2﹣m﹣7|＝|m﹣3|，
∵﹣1＜m＜3，
∴﹣m2+m+7＝（3﹣m），
∴m＝﹣或m＝3（舍），
∴P点横坐标为﹣；
（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（，mn），
∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，
∴（m﹣n）3﹣＝4，
∴（m﹣n）3＝8，
∴m﹣n＝2．
解法二：求MNE的面积比较复杂，可以用分割法求，
过点E作x轴的垂线，交MN与点F，求出F的坐标，可得结论．

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2020年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．B； 2．D； 3．B； 4．C； 5．A； 6．C； 7．B； 8．C； 9．D； 10．A；
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．3； 12．4.5； 13．； 14．26°； 15．①③； 16．；
三、解答题（共8小题，共72分）
17．【解答】解：原式＝（a8+9a8）÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6．
18．【解答】证明：∵EM∥FN，
∴∠FEM＝∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，
∴∠FEB＝∠EFC，
∴AB∥CD．
19．【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×＝18°，
故答案为：60，18°；
（2）A类别人数为60﹣（36+9+3）＝12（名），
补全条形图如下：
（3） 估计该社区表示“支持”的B类居民大约有
2000×＝1200（名）．
20．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图所示：∠BCE即为所求；
（3）连接（5，0），（0，5），
可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：
21．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠1＝，sin∠3＝，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），
整理得x2+xy﹣y2＝0，解得x＝y或x＝y（舍去），
∴sin∠3＝＝，
即sin∠BAC的值为．

22．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000，
＝（x﹣20）2+6600，
∵a＝1＞0，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，
则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；
②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．
答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．
23．【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝2＝6，
∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，
∴AD＝．
24．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，
∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，
∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；

（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，
设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，
∵∠BAO＝∠ACO＝90°，
∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠BAD＝∠AOC，
∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，
∴△ABD≌△OAC（AAS），
∴BD＝AC，
∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，
解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，
∴A（4，﹣2）或（5，3）；
（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，
∴xE+xF＝k，
∴M（），
把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，
∴，
∴N（，），
设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，解得，，
∴直线MN的解析式为：，
当x＝0时，y＝2，
∴直线MN：经过定点（0，2），
即直线MN经过一个定点．

2021年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．B； 2．D； 3．A； 4．D； 5．C； 6．C； 7．D； 8．B； 9．B； 10．D；
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．5； 12．2189； 13．﹣1＜a＜0； 14．10.4； 15．①②④； 16．﹣1；
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．【解答】解：
（1）解不等式①，得x≥﹣1；
（2）解不等式②，得x＞﹣3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下；

（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1；x＞﹣3；x≥﹣1．
18．【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCF＝∠D，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠F．
19．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，
C组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝108°，
故答案为：100，108°；

（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），
条形统计图如图所示，


（3）1500×＝600（名）．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．
20．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）如图，线段CG，点H即为所求
21．【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵＝，
设DF＝t，DC＝t，
由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG•BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合题意，舍去），
∴CG＝＝＝t，
∴OG＝r﹣t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，
解得r＝t，
∴cos∠ABD＝＝＝．
方法二、设CF＝n，
由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF•CA，
则AF＝＝，
∵BF＝＝，
∵△FDA∽△FCB，
∴，
∴＝，
∴n＝t或t（舍去），
∴BF＝3t，
∴BD＝4t，
∵△FDA∽△FCB，
∴＝，
∴AD＝t，
∴AB＝3t，
∴cos∠ABD＝＝．

22．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．
23．【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF＝CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；
即BF﹣AF＝CF；

（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF＝CF，
则BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF﹣AF＝CF；

（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•FC，
则BF＝BG+GF＝kAF+•FC，
即BF﹣kAF＝•FC．
24．【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），顶点坐标为（0，﹣1），
①当x＝时，y＝x2﹣1＝，
由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，
∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
则+1＝，+3＝，
故点D的坐标为（，）；

②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1，
解得n＝2m+1，
故点C的坐标为（0，2m+1）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，
则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△AEM﹣S△CEN＝（m+1+m）（2m+1）﹣×（m+1）（m2﹣1）﹣m[2m+1﹣（m2﹣1）]＝S▱ACDE＝6，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（2，3）；

（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），
由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，
故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，
联立①③并解得xH＝，
同理可得，xG＝，
∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝sin∠BFO＝＝＝＝sinα，
则FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝为常数．

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2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．A； 2．D； 3．D； 4．B； 5．A； 6．C； 7．A； 8．C； 9．B； 10．D；
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．2； 12．25； 13．； 14．800； 15．①③④； 16．80；
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
18．【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
19．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是16÷20%＝80，B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°×＝54°，条形统计图中C项活动的人数是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
故答案为：80，54°，20；
（2）2000×＝800（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
20．【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．

21．【解答】解：（1）如图（1）中，点F，点G即为所求；
（2）如图（2）中，线段AH，点Q即为所求．

22．【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
23．【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；

（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
24．【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴m＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+2b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．

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