人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案

这是一份人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案，共36页。
2.2 基本不等式
1. 基本不等式：
当，，我们用，分别代替重要不等式中的，可得：.
基本不等式：如果，，那么，当且仅当时等号成立。
（1）基本不等式成立的条件是：，.
（2）其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。因此，这一基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；
如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
（3）和两者的异同：
①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
②取等号“＝”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
③可以变形为：，可以变形为：.
2. 利用基本不等式求最值问题：
已知则
如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是。(简记：积定和最小)
如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是。(简记：和定积最大)
（1）利用上述结论，可以快速地求出最大值和最小值，积正实数之积为定值，其和有最小值；而正实数之和为定值，其积有最大值，可简记为：积定和最大，和定积最小.
（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行“一正，二定，三相等”，具体理解如下：
①“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则容易出现错误的答案：比如函数，当时，绝不能认为，由此得出错误的结论：的最小值为.
②“二定”：即含变量的各项系数的和或者积必须为常数，如果要求的最小值，必须为定值；求的最大值，必须为定值；
③“三相等”，即不等式具备等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值.
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的的答案.
（3）常用结论：
①若，则 (当且仅当时取“等号”）；
若，则 (当且仅当时取“等号”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
②若，则 (当且仅当时取“＝”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
3. 活用几个重要的不等式：
(1)； (2)同号）；
(3)； (4)

一．选择题（共44小题）
1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)​的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5


2．（2021•浙江模拟）若x＜0，则x+4x的最大值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2


3．（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20x(x＞0)的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25


4．（2022秋•南关区校级月考）y=x2-x+4x（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4


5．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8


6．（2022•涪城区校级开学）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则xy的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81


7．（2021秋•驻马店期末）已知a＞0，则当9a+1a取得最小值时，a的值为（　　）
A．19 B．16 C．13 D．3


8．（2022春•遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则x-1y的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．-2 D．-3


9．（2021秋•临渭区期末）已知x＞1，则x+1x-1的最小值是（　　）
A．3 B．8 C．12 D．20




10．（2022春•青羊区校级月考）若x＞2，则函数y=x+4x-2的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．25+2 D．25-2


11．（2022春•喀什地区期末）若x＞0，则函数f(x)=2x+1x的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．22 D．32


12．（2022春•丹东期末）若x＞1，则函数y=x+2x+2x-1的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9


13．（2021秋•上街区校级期末）若正数a，b满足a+b＝1，则9a+1b的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15


14．（2022秋•永吉县校级月考）若正实数a，b满足a+4b＝1，则1a+1b的（　　）
A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8


15．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线l：xa+yb=1经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（　　）
A．4 B．42 C．8 D．9


16．（2022春•满洲里市校级期末）若a，b是两正实数，3b+4a=1，则a+b的最小值是（　　）
A．43 B．83 C．7+43 D．7+83


17．（2022春•天元区校级期末）若x＞0，y＞0，且1x+3y=1，则3x+y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．14 D．16


18．（2022春•安徽期中）已知正实数x，y满足2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．5 D．7


19．（2021秋•虎林市校级期末）已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3+22


20．（2022春•涪城区校级期中）已知实数a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，则a+3b的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18


21．（2021秋•咸阳期末）已知x＞0，y＞0，若2x+y＝8xy，则xy的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．18 D．14


22．（2021秋•新乡期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则32x+1y的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27


23．（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则ba+2b的最小值为（　　）
A．32 B．2+1 C．52 D．3




24．（2022秋•日照月考）设正实数m，n满足m+n＝2，则nm+12n的最小值是（　　）
A．32 B．52 C．54 D．94


25．（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则1x+4y的最小值为（　　）
A．74 B．92 C．134 D．1


26．（2022春•三明期末）已知正实数a，b满足a+1b=2，则2ab+1a的最小值是（　　）
A．52 B．3 C．92 D．22+1


27．（2022春•青羊区校级月考）已知正实数x，y满足x+2y＝4，则1x+1+2y的最小值是（　　）
A．9 B．73 C．116 D．95


28．（2021秋•永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则4m+1+1n+1的最小值为（　　）
A．134 B．94 C．74 D．95


29．（2022春•开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则1p+2+1q+1的最小值为（　　）
A．23 B．53 C．74 D．95


30．（2022春•沈阳期末）已知正实数a，b满足2a+b＝6，则2a+1b+2的最小值为（　　）
A．45 B．43 C．98 D．94

31．（2021秋•天河区期末）设a＞0，b＞0，若ab﹣5＝4a+b，则ab的最小值是（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25


32．（2021秋•灵宝市校级期末）若正实数x，y满足x+y+xy﹣3＝0，则x+y的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．3 D．32


33．（2022春•尧都区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+2ab＝6，则a+4b的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5


34．（2022•亭湖区校级开学）若实数x，y满足：x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，则xy的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4


35．（2022秋•沈阳月考）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．22 D．42


36．（2022春•抚顺期末）已知a＞0，b＞0，ab＝1，则a2+b2+6a+b的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．22 D．42


37．（2021秋•林州市期末）已知a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，则a+b的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6


38．（2021秋•临沂期末）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则aa+b有（　　）
A．最大值15 B．最小值15 C．最大值14 D．最小值14
39．（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）


40．（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）
A．52+26 B．5+26 C．72+23 D．7+23


41．（2021秋•连云港期末）函数y=1-2x2-8x2的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9


42．（2021秋•丹东期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+ba+1+1b的最小值为（　　）
A．43 B．73 C．52 D．3


43．（2021秋•镇江期末）已知正数x，y满足3x﹣4＝9y，则x+8y的最小值为（　　）
A．8 B．12 C．22 D．4+22


44．（2021秋•辽宁期末）已知函数f(x)=x2+1x2+2-1，则f（x）的最小值为（　　）
A．-12 B．﹣1 C．0 D．1

二．填空题（共16小题）
45．（2022秋•长沙月考）已知x，y∈R*，若x+y+xy＝8，则xy的最大值为 　 　．

46．（2022春•杨浦区校级期末）已知实数a、b满足a2+2b2＝2，则（1+a2）（1+b2）的最大值为 　 　．


47．（2021秋•原阳县校级期中）非负实数x，y满足2xy+x+6y﹣6＝0，则x+2y的最小值为　 　．


48．（2022秋•唐山月考）已知a，b＜0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 　 　．


49．（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　 　．


50．（2021秋•广西月考）函数y=x2-2x+123x(x＞0)的最小值为 　 　．


51．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y的最小值为 　 　．


52．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且xy2y+3x=1，x2+y3≥m恒成立，则实数m的取值范围是 　 　．


53．（2021秋•新乡期中）当x∈（﹣1，+∞）时，2x+2+1x+1的最小值是 　 　．


54．（2021秋•商丘期中）已知x＞0，y＞0，且满足3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，则3x+2y的最小值为 　 　．


55．（2021秋•中牟县期中）若a＞0，b＞0，ab＝a+b+15，则ab的最小值为 　 　．


56．（2021秋•重庆期末）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为 　 　．


57．（2022春•麻城市校级月考）若x＞0，y＞0，且1x+4y=1，则x+2y的最小值是 　 　．


58．（2021秋•信阳期中）设x＞0，y＞0，x+y＝2xy，则x+y的最小值为 　 　．


59．（2021秋•郑州期中）已知x＞0，y＞0，且满足（x+3）（y+1）＝18，则x+2y的最小值为 　 　．


60．（2021秋•中山市期末）若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则xy2x+y的最大值为　 　．



























2.2 基本不等式
4. 基本不等式：
当，，我们用，分别代替重要不等式中的，可得：.
基本不等式：如果，，那么，当且仅当时等号成立。
（1）基本不等式成立的条件是：，.
（2）其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。因此，这一基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；
如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
（3）和两者的异同：
①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
②取等号“＝”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
③可以变形为：，可以变形为：.
5. 利用基本不等式求最值问题：
已知则
如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是。(简记：积定和最小)
如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是。(简记：和定积最大)
（1）利用上述结论，可以快速地求出最大值和最小值，积正实数之积为定值，其和有最小值；而正实数之和为定值，其积有最大值，可简记为：积定和最大，和定积最小.
（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行“一正，二定，三相等”，具体理解如下：
①“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则容易出现错误的答案：比如函数，当时，绝不能认为，由此得出错误的结论：的最小值为.
②“二定”：即含变量的各项系数的和或者积必须为常数，如果要求的最小值，必须为定值；求的最大值，必须为定值；
③“三相等”，即不等式具备等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值.
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的的答案.
（3）常用结论：
①若，则 (当且仅当时取“等号”）；
若，则 (当且仅当时取“等号”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
②若，则 (当且仅当时取“＝”）
若，则即或 (当且仅当时取“等号”）
6. 活用几个重要的不等式：
(1)； (2)同号）；
(3)； (4)

一．选择题（共44小题）
1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)​的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由已知函数 y=x+4x，
∵x≥1，∴4x＞0​，∴x+4x≥2x×4x=4​，
当且仅当x=4x​，即x＝2​时等号成立，
∴​当x＝2​时，函数y=x+4x​有最小值是4，
故选：C．
2．（2021•浙江模拟）若x＜0，则x+4x的最大值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
【解答】解：因为x＜0，则﹣x＞0，
则x+4x=-[（﹣x）+（-4x）]≤-2(-x)⋅(-4x)=-4，
当且仅当﹣x=-4x，即x＝﹣2时取等号，此时取得最大值﹣4．
故选：C．
3．（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20x(x＞0)的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由题意f（x）＝5x+20x≥25x×20x=20，
当且仅当5x=20x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，
故选：C．
4．（2022秋•南关区校级月考）y=x2-x+4x（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当x＞0时，y=x2-x+4x=x+4x-1≥2x⋅4x-1=4﹣1＝3，
当且仅当x=4x即x＝2时取等号，此时函数取得最小值3．
故选：C．
5．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，
∴xy≤(x+y)24=424=4，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
故选：B．
6．（2022•涪城区校级开学）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则xy的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝18，
则xy≤x+y2=9，当且仅当x＝y＝9时取等号．
故选：A．

7．（2021秋•驻马店期末）已知a＞0，则当9a+1a取得最小值时，a的值为（　　）
A．19 B．16 C．13 D．3
【解答】解：因为a＞0，
则9a+1a≥29a⋅1a=6，当且仅当9a=1a，即a=13时，等号成立，上式取得最小值．
故选：C．
8．（2022春•遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则x-1y的最小值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．-2 D．-3
【解答】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴x-1y=x+1x+2=x+2+1x+2-2≥21-2＝0，
当且仅当x+2=1x+2，即x＝﹣1时取等号，
∴x-1y=x+2+1x+2-2≥0，
∴x-1y的最小值为0，
故选：A．
9．（2021秋•临渭区期末）已知x＞1，则x+1x-1的最小值是（　　）
A．3 B．8 C．12 D．20
【解答】解：x＞1，则x﹣1＞0，则x+1x-1=（x﹣1）+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1＝3，
当且仅当x﹣1=1x-1，即x＝2时取等号，
则x+1x-1的最小值是3，
故选：A．
10．（2022春•青羊区校级月考）若x＞2，则函数y=x+4x-2的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．25+2 D．25-2
【解答】解：若x＞2，则x﹣2＞0，
则函数y=x+4x-2=x-2+4x-2+2≥24+2=6，当且仅当x＝4时，等号成立；
故选：B．


11．（2022春•喀什地区期末）若x＞0，则函数f(x)=2x+1x的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．22 D．32
【解答】解：由x＞0，得f（x）＝2x+1x≥22x⋅1x=22，
当且仅当2x=1x，即x=22时等号成立，
所以f（x）＝2x+1x的最小值为22．
故选：C．
12．（2022春•丹东期末）若x＞1，则函数y=x+2x+2x-1的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数y=x+2x+2x-1=x+2x-2+4x-1
＝x+4x-1+2＝x﹣1+4x-1+3≥24+3＝7，
当且仅当x﹣1=4x-1，即x＝3时取等号，
∴y=x+2x+2x-1的最小值为7，
故选：C．
13．（2021秋•上街区校级期末）若正数a，b满足a+b＝1，则9a+1b的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，
则9a+1b=（9a+1b）（a+b）＝10+9ba+ab≥10+29ba⋅ab=16，
当且仅当ab=9ba且a+b＝1，即a=34，b=14时取等号，此时9a+1b取得最小值16．
故选：A．
14．（2022秋•永吉县校级月考）若正实数a，b满足a+4b＝1，则1a+1b的（　　）
A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8
【解答】解：因为正实数a，b满足a+4b＝1，
则1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab且a+4b＝1即b=16，a=13时取等号，此时1a+1b取得最小值9．
故选：B．

15．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线l：xa+yb=1经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（　　）
A．4 B．42 C．8 D．9
【解答】解：由题意得2a+1b=1，a＞0，b＞0，
所以2a+b＝（2a+b）（2a+1b）＝5+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=9，
当且仅当2ba=2ab且2a+1b=1即a＝b＝3时取等号，此时2a+b取得最小值9．故选：D．
16．（2022春•满洲里市校级期末）若a，b是两正实数，3b+4a=1，则a+b的最小值是（　　）
A．43 B．83 C．7+43 D．7+83
【解答】解：因为a，b是两正实数，3b+4a=1，
则a+b＝（a+b）（4a+3b）＝7+4ba+3ab≥7+24ba⋅3ab=7+43，
当且仅当4ba=3ab且3b+4a=1，即a＝4+23，b＝3+23时取等号．故选：C．
17．（2022春•天元区校级期末）若x＞0，y＞0，且1x+3y=1，则3x+y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．14 D．16
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1x+3y=1，
则3x+y＝（3x+y）（1x+3y）＝6+yx+9xy≥6+2yx⋅9xy=12，当且仅当yx=9xy且1x+3y=1，
即x＝2，y＝6时取等号．故选：A．
18．（2022春•安徽期中）已知正实数x，y满足2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．5 D．7
【解答】解：∵2x+y＝xy可得1x+2y=1，∴x+2y＝（x+2y）（1x+2y）＝5+2yx+2xy≥5+22yx⋅2xy=9，
当且仅当x＝y时，取得最小值9．故选：B．
19．（2021秋•虎林市校级期末）已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3+22
【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y＝xy，
∴1y+2x=1，∴x+y＝（x+y）（1y+2x）＝3+xy+2yx≥3+2xy⋅2yx=3+22，
当且仅当x2＝2y2 时，等号成立，
则x+y的最小值为3+22，
故选：D．

20．（2022春•涪城区校级期中）已知实数a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，则a+3b的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且3a+b＝ab，所以1a+3b=1，
所以a+3b＝（a+3b）（1a+3b）＝1+9+3ba+3ab≥10+23ba⋅3ab=16，
当且仅当a＝b＝4时“＝”成立，所以a+3b的最小值为16．故选：C．
21．（2021秋•咸阳期末）已知x＞0，y＞0，若2x+y＝8xy，则xy的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．18 D．14
【解答】解：因为x＞0，y＞0且8xy＝2x+y≥22xy，当且仅当2x＝y时取等号，
解得，xy≥18，故xy的最小值18．故选：C．
22．（2021秋•新乡期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则32x+1y的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【解答】解：由题意，32x+1y=12(32x+1y)(x+2y)=12(34+64yx+xy)≥64yx⋅xy+17=25，
当且仅当64yx=xy，即x=85，y=15时等号成立．故选：B．
23．（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则ba+2b的最小值为（　　）
A．32 B．2+1 C．52 D．3
【解答】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，
所以ba+2b=ba+a+bb=ba+ab+1≥2ba⋅ab+1＝2+1＝3，当且仅当ba=ab，即a＝b时等号成立，
所以ba+2b的最小值为3．故选：D．
24．（2022秋•日照月考）设正实数m，n满足m+n＝2，则nm+12n的最小值是（　　）
A．32 B．52 C．54 D．94
【解答】解：因为正实数m、n，满足m+n＝2，
所以nm+12n=nm+m+n4n=nm+m4n+14≥2nmm4n+14=54，
当且仅当nm=m4n且m+n＝2，即m=43，n=23时取等号，
所以nm+12n的最小值是54．
故选：C．
25．（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则1x+4y的最小值为（　　）
A．74 B．92 C．134 D．1
【解答】解：已知x，y都是正数，且x+y＝2，
则1x+4y=12（x+y）（1x+4y）=12（5+yx+4xy）≥12（5+2yx⋅4xy）=92，当且仅当x=23，y=43时等号成立，
所以1x+4y的最小值为：92．
故选：B．
26．（2022春•三明期末）已知正实数a，b满足a+1b=2，则2ab+1a的最小值是（　　）
A．52 B．3 C．92 D．22+1
【解答】解：∵正实数a，b满足a+1b=2，∴ab+1＝2b，∴ab＝2b﹣1，
∴2ab+1a=4b+1a-2＝（4b+1a）（a+1b）×12-2＝（4ab+1ab+5）×12-2≥（24+5）×12-2=92-2=52，
当且仅当4ab=1ab，即a=23，b=34，时取等号，
∴2ab+1a的最小值是52，
故选：A．
27．（2022春•青羊区校级月考）已知正实数x，y满足x+2y＝4，则1x+1+2y的最小值是（　　）
A．9 B．73 C．116 D．95
【解答】解：正实数x，y满足x+2y＝4，整理得（x+1）+2y＝5；
故1x+1+2y=15(1x+1+2y)⋅[(x+1)+2y]=15⋅[1+2yx+1+2(x+1)y+4]≥15×(5+4)=95，
当且仅当x=23，y=53时，等号成立．
故选：D．
28．（2021秋•永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则4m+1+1n+1的最小值为（　　）
A．134 B．94 C．74 D．95
【解答】解：∵m+n＝2，
∴（m+1）+（n+1）＝4，
∴4m+1+1n+1=（4m+1+1n+1）[m+1）+（n+1）]×14=14[5+4(n+1)m+1+m+1n+1]≥14（5+24(n+1)m+1⋅m+1n+1]=94，
当且仅当m+1n+1=4(n+1)m+1且m+n＝2，即m=53，n=13时取等号，
故选：B．
29．（2022春•开福区校级月考）已知p，q为正实数且p+q＝3，则1p+2+1q+1的最小值为（　　）
A．23 B．53 C．74 D．95
【解答】解：因为p，q为正实数且p+q＝3，
所以p+2+q+1＝6，
则1p+2+1q+1=（1p+2+1q+1）（p+2+q+1）×16=16（2+q+1p+2+p+2q+1）≥16（2+2q+1p+2⋅p+2q+1）=23，
当且仅当q+1p+2=p+2q+1且p+q＝3，即q＝2，p＝1时取等号，
此时1p+2+1q+1取最小值23，
故选：A．
30．（2022春•沈阳期末）已知正实数a，b满足2a+b＝6，则2a+1b+2的最小值为（　　）
A．45 B．43 C．98 D．94
【解答】解：因为正实数a，b满足2a+b＝6，
则2a+1b+2=42a+1b+2=18（2a+b+2）（42a+1b+2）=18（5+2ab+2+4(b+2)2a）≥18（5+4）=98，
当且仅当2ab+2=4(b+2)2a且2a+b＝6，即b=23，a=83时，取等号，此时2a+1b+2取得最小值98．
故选：C．
31．（2021秋•天河区期末）设a＞0，b＞0，若ab﹣5＝4a+b，则ab的最小值是（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴4a+b≥24ab=4ab，当且仅当4a＝b时，等号成立，
∴ab﹣5≥4ab，即ab﹣4ab-5≥0，
解得ab≥5，∴ab≥25，当且仅当a=52，b＝10时，等号成立，∴ab的最小值是25，
故选：D．
32．（2021秋•灵宝市校级期末）若正实数x，y满足x+y+xy﹣3＝0，则x+y的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．3 D．32
【解答】解：0＝x+y+xy﹣3≤x+y+（x+y2）2﹣3，
可得（x+y）2+4（x+y）﹣12≥0，可得x+y≤﹣6，或x+y≥2，
因为x，y为正实数，所以x+y≥2（当且仅当x＝y＝1时取等号），
所以x+y的最小值为2．
故选：B．
33．（2022春•尧都区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+2ab＝6，则a+4b的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解答】解：因为正数a，b满足a+4b+2ab＝6，
所以a+4b＝6﹣2ab＝6-12×a×4b≥6-12×(a+4b2)2，当且仅当a＝4b，即b=12，a＝2时取等号，
解得a+4b≥4，
则a+4b的最小值为4．
故选：C．
34．（2022•亭湖区校级开学）若实数x，y满足：x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，则xy的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为x，y＞0，3xy﹣x﹣y﹣1＝0，
所以3xy﹣1＝x+y≥2xy，当且仅当x＝y时，取等号，
则3xy﹣2xy-1≥0，即（3xy+1）（xy-1 ）≥0
可得xy≥1，则xy≥1，
故选：A．
35．（2022秋•沈阳月考）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．22 D．42
【解答】解：因为正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，
所以y=2-x2x=2x-x＞0，
所以0＜x＜2，
所以3x+y＝2x+2x≥22x⋅2x=4，当且仅当2x=2x，即x＝1时取等号，
故选：B．
36．（2022春•抚顺期末）已知a＞0，b＞0，ab＝1，则a2+b2+6a+b的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．22 D．42
【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab＝1．
∴a2+b2+6a+b=(a+b)2-2ab+6a+b=(a+b)2+4a+b=a+b+4a+b≥4，
当且仅当a+b=4a+b，即a+b＝2，又ab＝1，
即当a＝b＝1时，等号成立，
∴a2+b2+6a+b的最小值为4．
故选：B．

37．（2021秋•林州市期末）已知a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，则a+b的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞1，且a（b﹣1）＝4，
∴a=4b-1＞0，∴a+b=4b-1+（b﹣1）+1≥24+1＝5，当且仅当b=3a=2时取“＝“，
故选：C．
38．（2021秋•临沂期末）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则aa+b有（　　）
A．最大值15 B．最小值15 C．最大值14 D．最小值14
【解答】解：∵a＞0，且a2﹣b+4＝0，∴aa+b=aa2+a+4=1a+4a+1≤124+1=15，
当且仅当a＝2时取等号，∴aa+b有最大值为15，
故选：A．
39．（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）
【解答】解：因为x＞0、y＞0，且2x+1y=1，
2x+y＝（2x+y）（2x+1y）＝5+2yx+2xy≥5+22xy⋅2yx=9，
当且仅当2xy=2yx且2x+1y=1，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9，
若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，
故选：A．
40．（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）
A．52+26 B．5+26 C．72+23 D．7+23
【解答】解：因为{x|a＜x＜b}是不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，
所以a，b是方程nx2﹣2x+1＝0的两个实数根且n＞0，
所以a+b=2n，ab=1n，所以a+bab=1b+1a=2，且a＞0，b＞0；所以4a+3b=12•（4a+3b）•（1a+1b）
=12•（7+3ba+4ab）≥12（7+23ba⋅4ab）=12（7+43）=72+23，
当且仅当3b＝2a时“＝”成立；所以4a+3b的最小值为72+23．
故选：C．
41．（2021秋•连云港期末）函数y=1-2x2-8x2的最大值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
【解答】解：由题意可得函数的定义域为{x|x≠0 }，则：x2＞0，
所以y=1-2x2-8x2=1﹣（2x2+8x2）≤1﹣22x2⋅8x2=-7，
当且仅当2x2=8x2，即x=±2时取等号，所以函数y=1-2x2-8x2的最大值是﹣7．
故选：B．
42．（2021秋•丹东期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+ba+1+1b的最小值为（　　）
A．43 B．73 C．52 D．3
【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝2，可得b＝2﹣a，a+1+b＝3，
所以2a+ba+1+1b=2a+2-aa+1+1b=1+1a+1+1b=1+13（1a+1+1b）（a+1+b）
＝1+23+13（ba+1+a+1b）≥53+23a+1b⋅ba+1=73，
当且仅当b2＝（a+1）2，即a=12，b=32时，等号成立，故2a+ba+1+1b的最小值为73，
故选：B．
43．（2021秋•镇江期末）已知正数x，y满足3x﹣4＝9y，则x+8y的最小值为（　　）
A．8 B．12 C．22 D．4+22
【解答】解：因为正数x，y满足3x﹣4＝9y＝32y，所以x﹣4＝2y，即x＝2y+4，
则x+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12，
当且仅当2y=8y，即y＝2，x＝8时取等号，此时x+8y的最小值为12．
故选：B．
44．（2021秋•辽宁期末）已知函数f(x)=x2+1x2+2-1，则f（x）的最小值为（　　）
A．-12 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：f（x）＝x2+2+1x2+2-3，令x2+2＝t（t≥2），
y＝t+1t-3，y′＝1-1t2=t2-1t2＞0，即y＝t+1t-1在t∈[2，+∞）单调递增，
所以当t＝2时，y有最小值2+12-3=-12，
即x＝0时，f（x）有最小值-12．
故选：A．
二．填空题（共16小题）
45．（2022秋•长沙月考）已知x，y∈R*，若x+y+xy＝8，则xy的最大值为 　4　．
【解答】解：∵正数x，y满足x+y+xy＝8，
∴8-xy=x+y≥2xy，即xy+2xy-8≤0，解得0＜xy≤2，
故xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号．
∴xy的最大值为4，
46．（2022春•杨浦区校级期末）已知实数a、b满足a2+2b2＝2，则（1+a2）（1+b2）的最大值为 　258　．
【解答】解：∵a2+2b2＝2，
∴（1+a2）（1+b2）=12（1+a2）（2+2b2）≤12（1+a2+2+2b22）2=12×254=258，
当且仅当1+a2＝2+2b2时取到等号．
47．（2021秋•原阳县校级期中）非负实数x，y满足2xy+x+6y﹣6＝0，则x+2y的最小值为　2　．
【解答】解：由2xy+x+6y﹣6＝0，得x（2y+1）+3（2y+1）＝9，即（2y+1）（x+3）＝9．
又（2y+1）（x+3）≤（x+3+2y+12）2=(x+2y+4)24，所以(x+2y+4)24≥9，
即（x+2y+4）2≥36，则x+2y+4≥6或x+2y+4≤﹣6（舍去），所以x+2y≥2．
当且仅当x+2y=2x+3=2y+1，即x＝0、y＝1时等号成立．
所以x+2y的最小值为2．
48．（2022秋•唐山月考）已知a，b＜0，且ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 　（0，1]　．
【解答】解：∵a，b＜0，且ab＝a+b+3，
∴a+b＝﹣（﹣a﹣b）≤﹣2ab，
∴ab＝a+b+3≤﹣2ab+3，
整理得ab+2ab-3＝（ab-1）（ab+3）≤0，
∵a，b＜0，∴0＜ab≤1，∴ab的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
49．（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　42-3　．
【解答】解：因为ab+a+b＝3，所以a=3-bb+1，
则2a+b＝2×3-bb+1+b=6-2bb+1+b=8-2(b+1)b+1+b
=8b+1+b﹣2=8b+1+b+1-3≥28b+1⋅(b+1)-3＝42-3，
当且仅当8b+1=b+1，即b＝22-1时取等号，此时最小值为42-3，
故答案为：42-3．
50．（2021秋•广西月考）函数y=x2-2x+123x(x＞0)的最小值为 　43-23　．
【解答】解：y=x2-2x+123x =13•（x+12x-2） ≥13•（2x⋅12x-2） =43-23，
当且仅当x=12x，即x＝23时，等号成立；
故函数y=x2-2x+123x(x＞0)的最小值为43-23；
51．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y的最小值为 　3+433　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝2，
则4x+x+3y3y=4x+8y2x+x+3y3y=3+4yx+x3y≥3+433，当且仅当4yx=x3y且x+2y＝2，即y=3-12，x＝3-3时取等号，
52．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且xy2y+3x=1，x2+y3≥m恒成立，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，4]　．
【解答】解：由xy2y+3x=1，得2x+3y=1，又x＞0，y＞0，
所以（x2+y3）＝（2x+3y）（x2+y3）＝2+2y3x+3x2y≥2+22y3x⋅3x2y=4，
当且仅当2y3x=3x2y，即x＝4，y＝6时等号成立，
所以x2+y3的最小值为4，
又x2+y3≥m恒成立，所以m≤4，
53．（2021秋•新乡期中）当x∈（﹣1，+∞）时，2x+2+1x+1的最小值是 　22　．
【解答】解：由于x∈（﹣1，+∞），所以x+1＞0，
则2x+2+1x+1=2(x+1)+1x+1≥22，当且仅当x=-1+22时，等号成立；
54．（2021秋•商丘期中）已知x＞0，y＞0，且满足3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，则3x+2y的最小值为 　2+3　．
【解答】解：∵3x2y+2xy2﹣y﹣2x＝0，
∴3x2y+2xy2＝y+2x，∴3x+2y=1x+2y，
（3x+2y）2＝（3x+2y）（1x+2y）＝7+6xy+2yx≥7+26xy⋅2yx=7+43=（2+3）2，
当6xy=2yx即y=3x时取“＝”号，
∴3x+2y≥2+3，


55．（2021秋•中牟县期中）若a＞0，b＞0，ab＝a+b+15，则ab的最小值为 　25　．
【解答】解：∵a，b＞0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a+b＝ab﹣15≥2ab，即ab﹣2ab-15≥0，
解得ab≥5，
∴ab的最小值为25．
56．（2021秋•重庆期末）已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为 　4　．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤(x+y)24，
∵2xy＝x+y+4，∴x+y+4≤(x+y)22，
即（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，
解得x+y≥4或x+y≤﹣2（舍去），
即x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，
所以x+y的最小值4，
57．（2022春•麻城市校级月考）若x＞0，y＞0，且1x+4y=1，则x+2y的最小值是 　9+42　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1x+4y=1，
所以x+2y＝（x+2y）（1x+4y）＝9+2yx+4xy≥9+22yx⋅4xy=9+42，
当且仅当2yx=4xy且1x+4y=1，即x＝1+22，y＝4+2时取等号，
此时x+2y取得最小值9+42．
58．（2021秋•信阳期中）设x＞0，y＞0，x+y＝2xy，则x+y的最小值为 　2　．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2xy，xy≤（x+y2）2，
∴x+y≤(x+y)22，
∴x+y≥2，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
59．（2021秋•郑州期中）已知x＞0，y＞0，且满足（x+3）（y+1）＝18，则x+2y的最小值为 　7　．
【解答】解：x+2y＝（x+3）+2（y+1）﹣5，
由x+3＞0，y+1＞0，
可得x+2y≥22(x+3)(y+1)-5=236-5=7．
当且仅当x+3＝2（y+1）＝6，即x＝3，y＝2时等号成立，
则x+2y的最小值为7．

60．（2021秋•中山市期末）若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则xy2x+y的最大值为　19　．
【解答】解：因为xy≠0，所以xy2x+y=12y+1x，
又x＞0，y＞0，x+2y＝1，
所以2y+1x=(2y+1x)(x+2y)=2xy+2yx+5≥22xy⋅2yx+5=9，
当且仅当2xy=2yx，x+2y=1，即x=y=13时取等号，
故xy2x+y的最大值为19．