江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题 Word版含解析

这是一份江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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数学试卷
一、单选题（每题5分，合计60分）
1.在中，已知，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,选C.
2.不等式的解集为，则的值（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，即为不等式对应方程的两个根，由韦达定理即可求得.
【详解】因为不等式的解集为，
故方程对应的两根为和.
故可得，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查由二次不等式的解集求参数的值，涉及韦达定理，属基础题.
3.不等式 的解集为（   ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先对不等式进行移项、通分、变号，再运用分式不等式求解方法进行计算可得结果．
【详解】原不等式化为，
即，
解得，
所以原不等式的解集为．
故选A．
【点睛】本题考查分式不等式解法，解分式不等式的常用方法是通过移项、通分后化为整式不等式求解，解题时避免通过不等式两边直接同乘以分母的方法求解．
4.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.
【详解】在等差数列中，，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.
5.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将原问题转化为求最值问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.
【详解】若不等式有解，即即可，
，，
则，
当且仅当，即，即时取等号，此时，，
即，
则由得，即，
得或，
即实数m取值范围是，
故选D．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
6.设变量、满足约束条件，则的最小值为
A. -3 B. -2 C. 0 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得最小值.
【详解】画出可行域如下图所示. 向上平移基准直线到点的位置时，目标函数取得最小值为.故选C.

【点睛】本小题主要考查利用线性规划求解目标函数的最小值.要注意的是由于，故要求的最小值，实际上是截距的最大值，故需要将基准直线向上平移到可行域的边界位置，此时截距取得最大值，取得最小值.如果题目改为，则需要向下平移来取得最小值.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
计算三角形AB边上的高即可得出结论．
【详解】C到AB的距离d=bsinA=3，
∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题．
8.等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和公式与项的性质，得出且，由此求出数列的前项和最大时的值．
【详解】等差数列中，前项和为，且，，
即，，
，所以，，则，
因此，当时，最大.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的性质和前项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．
9.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．
解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数
∴
∴a≥-
∴a的最小值为-故答案为C．
考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
10.在中，则的值等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在中，
利用三角形的面积公式可得，
解得，
又由余弦定理得，解得，
由正弦定理得，故选A.
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
11.的内角，，所对的边长分别为，，，已知角，角为锐角，， 周长的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理得：，可得 ，得出周长 ，根据正弦的差角公式和辅助角公式化简，再由角的范围可求得周长的范围.
【详解】由正弦定理得：，可得 ，的周长 ，
因为，，，所以，
的周长的范围为：，
故选：B.
【点睛】本题考查解三角形的正弦定理，三角恒等变换，三角函数的最值，关键在于由正弦定理将边转化为角，由角的范围求得最值，属于中档题.
12.如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值．
【详解】解：
，
，
，
，即为等差数列．
，
，，
为以为首项，为公差的等差数列．

，
．
故选：．
【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．
二、填空题（每题5分，合计20分）
13.在 中，若 ， ，则 等于__________．
【答案】
【解析】
由 得 所以，即 则 ，又 所以
故答案为.
14.已知中，三边与面积的关系为，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由面积公式以及余弦定理，对进行转化，即可求得.
【详解】根据面积公式，以及，
可得，解得.
由同角三角函数关系，因为，故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查面积公式和余弦定理的使用，属综合基础题.
15.在函数①，②，③，④，⑤中，最小值为2的函数的序号是______.
【答案】③⑤
【解析】
【分析】
利用均值不等式结合函数图像，对选项进行逐一判断即可.
【详解】对①：函数，当时，，故①错误；
对②：当,故由对勾函数的单调性可知,
故②错误；
对③：因为，故，
当且仅当时取得最小值，故③正确；
对④：，令
故，根据对勾函数的单调性可知，④错误；
对⑤：函数为偶函数，
又当时，，
当且仅当时取得最小值；
故函数的最小值为2，当时，取得最小值，故⑤正确.
故答案为：③⑤.
【点睛】本题考查均值不等式的使用，以及对勾函数的单调性，属中档题.
16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据：，）
【答案】2.6．
【解析】
解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．
则，
令 ，
化为：，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
三、解答题（17题10分，其余每题12分，合计70分）
17.已知数列的前项和为，若，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
充分利用已知，将式子中换成，然后相减得到与的关系，利用累乘法得到数列的通项，
（2）利用裂项相消法求和，即可求出，
【详解】解：（1）①，
当时，，解得
当时，②，
①减去②得，
整理得，
即，
，，，
以上各式相乘得，又，
所以，
（2）由（1）得，




，
【点睛】本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题．
18.已知的内角分别为，其对应边分别是，且满足
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
【答案】(1) .
(2).
【解析】
分析：（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出，，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可.
详解：
（Ⅰ） ，由正弦定理得：，
即，于是，
从而；
（Ⅱ）由正弦定理得：，，，

，（其中，
所以当时，的最大值是.
点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题.
19.已知数列满足.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，由；得到，两式相减得，再根据等差数列的定义证明.

（2）由题可知，利用错位相减法求解.
【详解】（1）当时，；
当时，由①；
得②，
①-②得，
当时符合，即，
则，所以数列为等差数列.
（2）由题可知.
所以③，
④，
③-④得，
所以.
【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．

（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；
（II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以，，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.
试题解析：
（1）因，，所以．
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
所以，所以．
（2）因为是的平分线，
所以，
又，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以．
21.某玩具所需成本费用为P元，且P＝1 000＋5x＋x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q(x)＝a＋ (a，b∈R)，
(1)问：玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值．(利润＝销售收入－成本)．
【答案】（1）该玩具厂生产100套时每套所需成本最少．（2）a＝25，b＝30.
【解析】
【分析】
（1）先建立每套所需成本费用函数关系式，再根据基本不等式求最值，（2）先根据利润＝销售收入－成本建立利润函数关系式，再根据二次函数性质确定开口方向、对称轴位置以及最大值取法，解方程与不等式组可得a，b的值.
【详解】解：(1)每套玩具所需成本费用为＝
＝x＋＋5≥2＋5＝25，
当x＝，即x＝100时等号成立，
故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少．
(2)设售出利润为w，则w＝x·Q(x)－P
＝x－
＝x2＋(a－5)x－1 000，
由题意得解得a＝25，b＝30.
【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.
22.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤ (x＋2)2成立．
(1)证明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；
(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋)．
【解析】
【分析】
（1）由题得，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程组，再根据f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表达式.(3)先转化为x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函数的图像数形结合分析得到m的取值范围.
【详解】(1)证明：由条件知：
f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤ (2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.
(2)因，
∴4a＋c＝2b＝1.
∴b＝，c＝1－4a.　
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝，b＝，c＝.
∴f(x)＝x2＋x＋.
(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必须恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，
①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.
解得：1－ ②解得：m≤1－，
综上m∈(－∞，1＋)．
【点睛】(1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答第3问的关键是通过数形结合分析得到Δ<0或.