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2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=−2x−3的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程中，有实数根的方程是( )
A. x+1=−1 B. x3+2=0 C. xx2−1=1x2−1 D. x2−2x+3=0
3. 下列命题中是假命题的是( )
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
4. “a是实数，|a|≥0”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
5. 在矩形ABCD中，|AB|= 3，|BC|=1，则向量(AB+BC)的长度为( )
A. 2 B. 4 C. 3−1 D. 3+1
6. 下列说法正确的个数有( )
①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定
②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形
③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 如果关于x的无理方程 2x+m=x有实数根x=1，那么m的值为______ ．
8. 把二次方程x2−4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是______ ．
9. 一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为x，抛第二次，将朝上一面的点数记为y，则点(x,y)落在直线y=−x+4上的概率为______ ．
10. 已知：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，那么CA= ______ (用向量a、b的式子表示)．
11. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积与矩形ABCD的面积的比值是______ ．
12. 直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为______．
13. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC⊥BC，∠B=60°，BC=6cm，则梯形ABCD的面积为______ ．
14. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形．
15. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，AC=8cm，∠AOD=120°，则AB= ______ ．
16. 已知菱形的边长为13cm，一条对角线长为24cm，那么菱形的高为______ cm．
17. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE= ______ ．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为24，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，如果AE=8时，则EF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
解方程：xx+3+6x2−9=1x−3．
20. (本小题5.0分)
解方程组：x2−5xy+6y2=0x2+y2+x−11y−2=0
21. (本小题6.0分)
在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：
(1)乙单位捐款数比甲单位多一倍；
(2)乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；
(3)甲单位的人数是乙单位的14．
你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？
22. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AB=8cm，求平行四边形ABCD的周长．
23. (本小题9.0分)
某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
合
户年用水量(立方米)
自来水单价(元/立方米)
污水处理单价(元/立方米)
第一阶梯
0−220(含220)
2.25
1.8
第三阶梯
220−300(含300)
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民缴纳水费y(元)关于户年用水量x(立方米)的函数关如图所示，求第二阶梯(线段AB)的表达式；
(3)如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
24. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE//BC(DE
(2)点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若∠FBD=60°，求证：CG=12DE
25. (本小题8.0分)
已知：在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．
(1)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
(2)延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE2=DE⋅DC，求证：四边形ABCF是矩形．
26. (本小题11.0分)
已知边长为4 2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(与点A，C不重合)，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
(1)当点E落在线段CD上时(如图所示)，设AP=x，△PEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵y=−2x−3
∴k<0，b<0
∴y=−2x−3的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限
故选：A．
因为k=−2<0，一次函数图象过二、四象限，b=−3<0，图象过第三象限．
一次函数图象的四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
2.【答案】B
【解析】解：因为算术平方根为非负数，所以A中x无解，
x3+2=0，解得：x=−32，所以B中方程有实数根，
由题意得：x=1，当x=1时，分母为0，所以C中方程无解，
x2−2x+3=0，
x2−2x=−3，
(x−1)2=−2，
一个数的平方为非负数，所以D中方程无解．
故选：B．
根据算术平方根的知识判断A，根据立方根的知识判断B，根据分式方程的知识判断C，根据一元二次方程的知识判断D．
本题主要考查了算术平方根的知识、一元二次方程的知识、实数的知识、立方根的知识、分式方程的知识．
3.【答案】B
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(平行四边形判定定理)；故A不符合题意．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符合题意．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：B．
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】
解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：在矩形ABCD中，|AB|= 3，|BC|=1，
∴AB= 3，BC=1，
∴AC= AB2+BC2=2，
∵AB+BC=AC，
∴向量(AB+BC)的长度为2，
故选：A．
根据矩形的性质得出AC的长即可求解．
本题考查了矩形的性质，平面向量，熟练掌握平面向量三角形计算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意；
②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意；
③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意；
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意；
故选：C．
根据等腰梯形的判定和性质、梯形中位线定理逐一进行判定，选出正确选项．
此题主要考查了梯形的中位线定理、直角梯形、等腰梯形，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．
7.【答案】−1
【解析】解：两边同时平方可得：2x+m=x2
实数根1是方程的解，x=1代入方程，
可解得m=−1；
故答案为：−1．
把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将x=1代入方程即可求出k值．
本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，属于基础题．
8.【答案】x−2y+2=0，x−2y−2=0
【解析】解：∵x2−4xy+4y2=4，
∴(x−2y)2−4=0，
∴(x−2y+2)(x−2y−2)=0，
∴x−2y+2=0，x−2y−2=0．
故答案为：x−2y+2=0，x−2y−2=0．
由于二次方程x2−4xy+4y2=4分解因式可以变为(x−2y+2)(x−2y−2)=0，由此即可求解．
此题主要考查了二元二次方程的解法，解题的关键是利用因式分解把高次方程变为一次方程解决问题．
9.【答案】112
【解析】解：画树状图如下：
总情况数为：6×6=36，
当x=1时，y=−1+4=3，
当x=2时，y=−2+4=2，
当x=3时，y=−3+4=1，
当x=4时，y=−4+4=0，
当x=5时，y=−5+4=−1，
当x=6时，y=−6+4=−2，
所以，在直线y=−x+4上的点的坐标为(1,3)(2,2)(3,1)共3个，
则点(x、y)落在直线y=−x+4上的概率P=336=112．
故答案为：112．
画出树状图，求出点的所有情况数，然后把自变量x的值代入直线解析式求出在直线上的点的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】−b−a
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴BC=AD=b，
∵AB=a，
∴BA=−a，CB=−b，
∴CA=CB+BA=−b−a．
故答案为：−b−a．
由在平行四边形ABCD中，可得BC=AD=b，即可得BA=−a，CB=−b，又由CA=CB+BA，即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
11.【答案】14
【解析】解：由图可知：OB=OD，∠OBE=∠ODF，∠EOB=∠FOD，
∴△BEO≌△DFO，
∴S△DFO=S△BEO，
在△ABO与△AOD中，OB=OD，高相等，
∴S△ABO=S△AOD，
即S△ABO=12S△ABD=14S▭ABCD，
阴影部分的面积=S△AEO+S△DFO=S△AEO+S△BEO=S△ABO=14S▭ABCD．
故答案为：14．
根据矩形的性质，将面积转换后求解即可．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
12.【答案】x<−1
【解析】解：两个条直线的交点坐标为(−1,3)，且当x>−1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x>k1x+b的解集为x<−1．
故本题答案为：x<−1．
由图象可以知道，当x=−1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x>k1x+b解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
13.【答案】30
【解析】解：∵在等腰梯形ABCD中，AB//CD，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，∠DAB=∠B=60°，
∴AB=2BC=12，∠DAC=30°，
∵AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=6，
∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+AD=12+6+6+6=30．
故答案为：30．
由在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=6，易求得AD=CD=BC=6，AB=2BC=12，继而求得答案．
此题考查了等腰梯形的性质、含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】菱
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=12AC，FG=EH=12BD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱．
15.【答案】4cm
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于O，AC=8cm，
∴∠ADC=90°，AC=BD=8cm，
∴OA=OC=12AC=4cm，OB=OD=12BD=4cm，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180−∠AOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm，
故答案为：4cm．
由矩形的性质得∠ADC=90°，AC=BD=8cm，则OA=OC=12AC=4cm，OB=OD=12BD=4cm，所以OA=OB，由∠AOD=120°，求得∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=OA=4cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等边三角形的判定与性质等知识，证明OA=OB并且求得∠AOB=60°是解题的关键．
16.【答案】12013
【解析】解：如图，在菱形ABCD中，AB=BC=13cm，BD=24cm，
∴BO=12cm，AC⊥BD，
由勾股定理得：AO= AB2−BO2=5cm，
∴AC=2AO=10cm，
∵菱形ABCD的面积=BC⋅AE=12AC⋅BD，
∴13AE=12×10×24，
解得：AE=12013(cm)，
故答案为：12013．
直接利用菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理得出菱形的一条对角线的长，再结合菱形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，正确得出菱形面积是解题关键．
17.【答案】6
【解析】解：延长BC至G，使DG//AC，
∵AD//BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴BG2=2BD2，
∴(BC+AD)2=2BD2，
∴BD=DG=6 2，
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF2=(6 2)2，
∴DF=6，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF=6．
故答案为：6．
作辅助线，延长BC至G，使DG//AC，由AD//BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△DBG为等腰直角三角形，则可利用勾股定理求DG，又根据等腰直角三角形的性质可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，从而得到结论．
本题考查了矩形的性质和判定以及等腰梯形的性质和最基本辅助线作法，此题的关键是作辅助线，然后利用等腰梯形的性质和等腰直角三角形求解．
18.【答案】20
【解析】解：如图，延长BC到G，使CG=AE，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCG=90°，
∴△DAE≌△DCG(SAS)，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠CDF+∠CDG=45°，
∴∠EDF=∠GDF=45°，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，
∵AB=BC=24，AE=CG=8，
∴BE=24−8=16，
设EF=x，则BF=BC+CG−FG=24+8−x=32−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
BE2+BF2=EF2，
即162+(32−x)2=x2，
解得x=20，
即EF=20，
故答案为：20．
利用正方形的性质，全等三角形的判定可得△DAE≌△DCG，进而证出△EDF≌△GDF，得到EF=FG，设EF=x，在Rt△BEF中，由勾股定理列方程求解即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
19.【答案】解：去分母得，x(x−3)+6=x+3，
去括号得，x2−3x+6=x+3，
移项，合并同类项得，x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
当x=1时，x2−9=1−9=−8≠0，故x=1是原方程的解；
当x=3时，x2−9=9−9=0，故x=3是原方程的增根．
综上可知，x=1是原分式方程的解．
【解析】先把分式方程化为整式方程，再求出x的值，代入最减公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意进行验根．
20.【答案】解：x2−5xy+6y2=0①x2+y2+x−11y−2=0②，
由①，得(x−2y)(x−3y)=0，
∴x−2y=0或x−3y=0．
∴原方程组可化为x−2y=0x2+y2+x−11y−2=0或者x−3y=0x2+y2+x−11y−2=0．
解方程组x−2y=0x2+y2+x−11y−2=0得x1=−25y1=−15，x2=4y2=2；
解方程组或者x−3y=0x2+y2+x−11y−2=0得x3=−35y3=−15，x4=3y4=1．
∴原方程组的解为：x1=−25y1=−15，x2=4y2=2，x3=−35y3=−15，x4=3y4=1．
【解析】利用因式分解的办法把方程组中的①化为两个一次方程，再与方程组中的第二个方程组成新的方程组，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可．
本题考查了二元二次方程组，掌握方程组的解法及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21.【答案】解：设甲单位平均每人的捐款x元，则乙单位平均每人的捐款(x−100)元，
根据题意得，6000x=14⋅12000x−100，
解得，x=200；
∴甲单位平均每人的捐款200元，乙单位平均每人的捐款100元，
甲单位30人，乙单位120人，
∴这两个单位总的平均每人捐款数=6000+1200030+120=120元，
答：这两个单位总的平均每人捐款数为120元．
【解析】设甲单位平均每人的捐款x元，则乙单位平均每人的捐款(x−100)元，然后根据单位的人数是乙单位的四分之一列方程求解．
本题考查分式方程的应用，关键是设出甲单位的人数的平均捐款，表示出乙，然后以人数作为等量关系列方程求解．
22.【答案】解：∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABP=∠CBP，∠DCP=∠BCP，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//BD，AB=CD，AD=BC，
∴∠APB=∠CBP，∠DPC=∠BCP，
∴∠ABP=∠APB，∠DCP=∠DPC，
∴AP=AB=8cm，DP=CD=8cm，
∴AD=AP+DP=16cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+CD)=32cm．
【解析】根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等证得△ABP和△CDP是等腰三角形，进而求出AD，即可求出行四边形ABCD的周长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意知，全年应缴纳水费为220×(2.25+1.8)=891(元)，
答：她家全年应缴纳水费891元；
(2)设第二阶梯(线段AB)的表达式为y=kx+b，
将点(220,891)和点(300,1355)代入y=kx+b得：
220k+b=891300k+b=1355，
解得k=5.8b=−385，
∴第二阶梯(线段AB)的表达式为y=5.8x−385；
(3)由(1)知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由(2)知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵891<1181<1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯(线段AB)的表达式为y=5.8x−385，
∴当y=1181时，5.8−385=1181，
解得x=270，
答：他家全年用水量是270立方米．
【解析】(1)根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)，即可得出结论；
(2)根据图象数据和(1)的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出x的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵DA=EA，
∴△DBA≌△ECA(SAS)，
∴BD=CE，
∵DE//BC(DE≠BC)，
∴四边形DBCE是等腰梯形．
(2)∵∠FBD=60°，∠ABC=60°，
∴∠FBD=∠ABC，
∴∠DBA+∠ABG=∠CBG+∠ABG，
∴∠DBA=∠CBG，
∵AB=BC，∠DAB=∠ACB=60°，
∴△DBA≌△GBC(ASA)，
∴CG=AD，
∵AD=AE=12DE，
∴CG=12DE．
【解析】(1)由等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，由平行线的性质推出∠DAB=∠EAC，又DA=EA，即可证明△DBA≌△ECA(SAS)，得到BD=CE，又DE//BC(DE≠BC)，即可证明四边形DBCE是等腰梯形．
(2)由△DBA≌△GBC(ASA)，得到CG=AD，又AD=AE=12DE，因此CG=12DE．
本题考查等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DBA≌△ECA，△DBA≌△GBC．
25.【答案】证明：(1)由折叠得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°，
∵点E是腰CD的中点，
∴BE是DC的垂直平分线，
∴DB=BC，
∴∠BDE=∠C，
∴∠BDE=∠C=∠ADB，
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴∠BDE+∠C+∠ADB=180°，
∴∠BDE=∠C=∠ADB=60°，
∴△BCD是等边三角形；
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵AD//BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°−∠A=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH，AB=DH，
由折叠得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，
∴∠BEC=180°−∠DEB=90°，DH=BE，
∵∠BEC=∠DHC=90°，∠BCE=∠DCH，
∴△BCE≌△DCH(AAS)，
∴DC=BC，CE=CH，
∵AD//BC，
∴∠DFE=∠EBC，∠FDE=∠ECB，
∴△FDE∽△BCE，
∴CEDE=BCDF，
∵CE2=DE⋅DC，
∴CEDE=DCCE，
∴BCDF=DCCE，
∴DF=CE，
∴CH=DF，
∴AD+DF=BH+CH，
∴AF=BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCF是矩形．
【解析】(1)由折叠得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°，从而可得BE是DC的垂直平分线，进而可得DB=BC，再利用等腰三角形的性质可得∠BDE=∠C，从而可得∠BDE=∠C=∠ADB，然后利用平行线的性质可得∠ADC+∠C=180°，从而可得∠BDE+∠C+∠ADB=180°，进而可得∠BDE=∠C=∠ADB=60°，最后利用等边三角形的判定，即可解答；
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据垂直定义可得∠DHB=∠DHC=90°，再利用平行线的性质可得∠ABC=90°，从而可得四边形ABHD是矩形，进而可得AD=BH，AB=DH，再利用折叠的性质可得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，从而可得∠BEC=90°，DH=BE，然后利用AAS证明△BCE≌△DCH，从而可得DC=BC，CE=CH，再证明8字模型相似三角形△FDE∽△BCE，从而可得CEDE=BCDF，最后根据已知可得CEDE=DCCE，从而可得BCDF=DCCE，进而可得DF=CE，再根据等量代换可得CH=DF，从而利用等式的性质可得AF=BC，进而可得四边形ABCF是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，直角梯形，翻折变换(折叠问题)，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°，
∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°，
∵PE⊥PB，
即∠BPE=90°，
∴∠BPG=90°−∠GPE=∠EPH，
在△PGB和△PHE中，
∠PGB=∠PHEPH=PG∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，
∴PB=PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP=90°．
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°，
∴∠PBO=90°−∠BPO=∠EPF，
∵EF⊥PC，
∴∠PFE=90°，
∴∠BOP=∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEBP=PE，
∴△BOP≌△PFE(AAS)，
∴BO=PF，EF=PO，
∵四边形ABCD是边长为4 2的正方形，
∴AO=PF=12BD=12×4 2× 2=4，
∵AP=x，
∴EF=4−x，
∴y=12PF⋅EF=12×4×(4−x)=8−4x(0
∵∠BPE=∠BCE=90°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PBC<90°，
∴∠PEC>90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP=EC，
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC>90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形；
②若点E在线段DC的延长线上，
若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE=135°，
∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°，
∴∠APB=180°−90°−22.5°=67.5°，
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，
∴∠PBR=∠CER=22.5°，
∴∠ABP=67.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=4 2，
∴AP的长为4 2．
【解析】(1)过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1.证△PGB≌△PHE，得出PB=PE，连接BD，证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，EF=OB然后得出关系式即可；
(2)可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=−2x−3的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程中，有实数根的方程是( )
A. x+1=−1 B. x3+2=0 C. xx2−1=1x2−1 D. x2−2x+3=0
3. 下列命题中是假命题的是( )
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
4. “a是实数，|a|≥0”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
5. 在矩形ABCD中，|AB|= 3，|BC|=1，则向量(AB+BC)的长度为( )
A. 2 B. 4 C. 3−1 D. 3+1
6. 下列说法正确的个数有( )
①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定
②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形
③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 如果关于x的无理方程 2x+m=x有实数根x=1，那么m的值为______ ．
8. 把二次方程x2−4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是______ ．
9. 一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为x，抛第二次，将朝上一面的点数记为y，则点(x,y)落在直线y=−x+4上的概率为______ ．
10. 已知：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，那么CA= ______ (用向量a、b的式子表示)．
11. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积与矩形ABCD的面积的比值是______ ．
12. 直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为______．
13. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC⊥BC，∠B=60°，BC=6cm，则梯形ABCD的面积为______ ．
14. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形．
15. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，AC=8cm，∠AOD=120°，则AB= ______ ．
16. 已知菱形的边长为13cm，一条对角线长为24cm，那么菱形的高为______ cm．
17. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE= ______ ．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为24，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，如果AE=8时，则EF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
解方程：xx+3+6x2−9=1x−3．
20. (本小题5.0分)
解方程组：x2−5xy+6y2=0x2+y2+x−11y−2=0
21. (本小题6.0分)
在一次捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：
(1)乙单位捐款数比甲单位多一倍；
(2)乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；
(3)甲单位的人数是乙单位的14．
你能根据以上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？
22. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AB=8cm，求平行四边形ABCD的周长．
23. (本小题9.0分)
某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：
合
户年用水量(立方米)
自来水单价(元/立方米)
污水处理单价(元/立方米)
第一阶梯
0−220(含220)
2.25
1.8
第三阶梯
220−300(含300)
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民缴纳水费y(元)关于户年用水量x(立方米)的函数关如图所示，求第二阶梯(线段AB)的表达式；
(3)如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
24. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE//BC(DE
(2)点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若∠FBD=60°，求证：CG=12DE
25. (本小题8.0分)
已知：在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．
(1)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
(2)延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE2=DE⋅DC，求证：四边形ABCF是矩形．
26. (本小题11.0分)
已知边长为4 2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(与点A，C不重合)，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
(1)当点E落在线段CD上时(如图所示)，设AP=x，△PEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵y=−2x−3
∴k<0，b<0
∴y=−2x−3的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限
故选：A．
因为k=−2<0，一次函数图象过二、四象限，b=−3<0，图象过第三象限．
一次函数图象的四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
2.【答案】B
【解析】解：因为算术平方根为非负数，所以A中x无解，
x3+2=0，解得：x=−32，所以B中方程有实数根，
由题意得：x=1，当x=1时，分母为0，所以C中方程无解，
x2−2x+3=0，
x2−2x=−3，
(x−1)2=−2，
一个数的平方为非负数，所以D中方程无解．
故选：B．
根据算术平方根的知识判断A，根据立方根的知识判断B，根据分式方程的知识判断C，根据一元二次方程的知识判断D．
本题主要考查了算术平方根的知识、一元二次方程的知识、实数的知识、立方根的知识、分式方程的知识．
3.【答案】B
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(平行四边形判定定理)；故A不符合题意．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符合题意．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：B．
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】
解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：在矩形ABCD中，|AB|= 3，|BC|=1，
∴AB= 3，BC=1，
∴AC= AB2+BC2=2，
∵AB+BC=AC，
∴向量(AB+BC)的长度为2，
故选：A．
根据矩形的性质得出AC的长即可求解．
本题考查了矩形的性质，平面向量，熟练掌握平面向量三角形计算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意；
②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意；
③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意；
④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意；
故选：C．
根据等腰梯形的判定和性质、梯形中位线定理逐一进行判定，选出正确选项．
此题主要考查了梯形的中位线定理、直角梯形、等腰梯形，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．
7.【答案】−1
【解析】解：两边同时平方可得：2x+m=x2
实数根1是方程的解，x=1代入方程，
可解得m=−1；
故答案为：−1．
把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将x=1代入方程即可求出k值．
本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，属于基础题．
8.【答案】x−2y+2=0，x−2y−2=0
【解析】解：∵x2−4xy+4y2=4，
∴(x−2y)2−4=0，
∴(x−2y+2)(x−2y−2)=0，
∴x−2y+2=0，x−2y−2=0．
故答案为：x−2y+2=0，x−2y−2=0．
由于二次方程x2−4xy+4y2=4分解因式可以变为(x−2y+2)(x−2y−2)=0，由此即可求解．
此题主要考查了二元二次方程的解法，解题的关键是利用因式分解把高次方程变为一次方程解决问题．
9.【答案】112
【解析】解：画树状图如下：
总情况数为：6×6=36，
当x=1时，y=−1+4=3，
当x=2时，y=−2+4=2，
当x=3时，y=−3+4=1，
当x=4时，y=−4+4=0，
当x=5时，y=−5+4=−1，
当x=6时，y=−6+4=−2，
所以，在直线y=−x+4上的点的坐标为(1,3)(2,2)(3,1)共3个，
则点(x、y)落在直线y=−x+4上的概率P=336=112．
故答案为：112．
画出树状图，求出点的所有情况数，然后把自变量x的值代入直线解析式求出在直线上的点的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】−b−a
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴BC=AD=b，
∵AB=a，
∴BA=−a，CB=−b，
∴CA=CB+BA=−b−a．
故答案为：−b−a．
由在平行四边形ABCD中，可得BC=AD=b，即可得BA=−a，CB=−b，又由CA=CB+BA，即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
11.【答案】14
【解析】解：由图可知：OB=OD，∠OBE=∠ODF，∠EOB=∠FOD，
∴△BEO≌△DFO，
∴S△DFO=S△BEO，
在△ABO与△AOD中，OB=OD，高相等，
∴S△ABO=S△AOD，
即S△ABO=12S△ABD=14S▭ABCD，
阴影部分的面积=S△AEO+S△DFO=S△AEO+S△BEO=S△ABO=14S▭ABCD．
故答案为：14．
根据矩形的性质，将面积转换后求解即可．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
12.【答案】x<−1
【解析】解：两个条直线的交点坐标为(−1,3)，且当x>−1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x>k1x+b的解集为x<−1．
故本题答案为：x<−1．
由图象可以知道，当x=−1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x>k1x+b解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
13.【答案】30
【解析】解：∵在等腰梯形ABCD中，AB//CD，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，∠DAB=∠B=60°，
∴AB=2BC=12，∠DAC=30°，
∵AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=6，
∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+AD=12+6+6+6=30．
故答案为：30．
由在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=6，易求得AD=CD=BC=6，AB=2BC=12，继而求得答案．
此题考查了等腰梯形的性质、含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】菱
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=12AC，FG=EH=12BD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱．
15.【答案】4cm
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于O，AC=8cm，
∴∠ADC=90°，AC=BD=8cm，
∴OA=OC=12AC=4cm，OB=OD=12BD=4cm，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180−∠AOD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm，
故答案为：4cm．
由矩形的性质得∠ADC=90°，AC=BD=8cm，则OA=OC=12AC=4cm，OB=OD=12BD=4cm，所以OA=OB，由∠AOD=120°，求得∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=OA=4cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等边三角形的判定与性质等知识，证明OA=OB并且求得∠AOB=60°是解题的关键．
16.【答案】12013
【解析】解：如图，在菱形ABCD中，AB=BC=13cm，BD=24cm，
∴BO=12cm，AC⊥BD，
由勾股定理得：AO= AB2−BO2=5cm，
∴AC=2AO=10cm，
∵菱形ABCD的面积=BC⋅AE=12AC⋅BD，
∴13AE=12×10×24，
解得：AE=12013(cm)，
故答案为：12013．
直接利用菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理得出菱形的一条对角线的长，再结合菱形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，正确得出菱形面积是解题关键．
17.【答案】6
【解析】解：延长BC至G，使DG//AC，
∵AD//BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴BG2=2BD2，
∴(BC+AD)2=2BD2，
∴BD=DG=6 2，
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF2=(6 2)2，
∴DF=6，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF=6．
故答案为：6．
作辅助线，延长BC至G，使DG//AC，由AD//BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△DBG为等腰直角三角形，则可利用勾股定理求DG，又根据等腰直角三角形的性质可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，从而得到结论．
本题考查了矩形的性质和判定以及等腰梯形的性质和最基本辅助线作法，此题的关键是作辅助线，然后利用等腰梯形的性质和等腰直角三角形求解．
18.【答案】20
【解析】解：如图，延长BC到G，使CG=AE，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCG=90°，
∴△DAE≌△DCG(SAS)，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠CDF+∠CDG=45°，
∴∠EDF=∠GDF=45°，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，
∵AB=BC=24，AE=CG=8，
∴BE=24−8=16，
设EF=x，则BF=BC+CG−FG=24+8−x=32−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
BE2+BF2=EF2，
即162+(32−x)2=x2，
解得x=20，
即EF=20，
故答案为：20．
利用正方形的性质，全等三角形的判定可得△DAE≌△DCG，进而证出△EDF≌△GDF，得到EF=FG，设EF=x，在Rt△BEF中，由勾股定理列方程求解即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
19.【答案】解：去分母得，x(x−3)+6=x+3，
去括号得，x2−3x+6=x+3，
移项，合并同类项得，x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
当x=1时，x2−9=1−9=−8≠0，故x=1是原方程的解；
当x=3时，x2−9=9−9=0，故x=3是原方程的增根．
综上可知，x=1是原分式方程的解．
【解析】先把分式方程化为整式方程，再求出x的值，代入最减公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意进行验根．
20.【答案】解：x2−5xy+6y2=0①x2+y2+x−11y−2=0②，
由①，得(x−2y)(x−3y)=0，
∴x−2y=0或x−3y=0．
∴原方程组可化为x−2y=0x2+y2+x−11y−2=0或者x−3y=0x2+y2+x−11y−2=0．
解方程组x−2y=0x2+y2+x−11y−2=0得x1=−25y1=−15，x2=4y2=2；
解方程组或者x−3y=0x2+y2+x−11y−2=0得x3=−35y3=−15，x4=3y4=1．
∴原方程组的解为：x1=−25y1=−15，x2=4y2=2，x3=−35y3=−15，x4=3y4=1．
【解析】利用因式分解的办法把方程组中的①化为两个一次方程，再与方程组中的第二个方程组成新的方程组，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可．
本题考查了二元二次方程组，掌握方程组的解法及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21.【答案】解：设甲单位平均每人的捐款x元，则乙单位平均每人的捐款(x−100)元，
根据题意得，6000x=14⋅12000x−100，
解得，x=200；
∴甲单位平均每人的捐款200元，乙单位平均每人的捐款100元，
甲单位30人，乙单位120人，
∴这两个单位总的平均每人捐款数=6000+1200030+120=120元，
答：这两个单位总的平均每人捐款数为120元．
【解析】设甲单位平均每人的捐款x元，则乙单位平均每人的捐款(x−100)元，然后根据单位的人数是乙单位的四分之一列方程求解．
本题考查分式方程的应用，关键是设出甲单位的人数的平均捐款，表示出乙，然后以人数作为等量关系列方程求解．
22.【答案】解：∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABP=∠CBP，∠DCP=∠BCP，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//BD，AB=CD，AD=BC，
∴∠APB=∠CBP，∠DPC=∠BCP，
∴∠ABP=∠APB，∠DCP=∠DPC，
∴AP=AB=8cm，DP=CD=8cm，
∴AD=AP+DP=16cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+CD)=32cm．
【解析】根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等证得△ABP和△CDP是等腰三角形，进而求出AD，即可求出行四边形ABCD的周长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意知，全年应缴纳水费为220×(2.25+1.8)=891(元)，
答：她家全年应缴纳水费891元；
(2)设第二阶梯(线段AB)的表达式为y=kx+b，
将点(220,891)和点(300,1355)代入y=kx+b得：
220k+b=891300k+b=1355，
解得k=5.8b=−385，
∴第二阶梯(线段AB)的表达式为y=5.8x−385；
(3)由(1)知，全年用水量220立方米时，需缴纳水费891元，
由(2)知，全年用水量300立方米时，需缴纳水费1355元，
∵891<1181<1355，
∴小明家全年用水在第二阶段，
∵第二阶梯(线段AB)的表达式为y=5.8x−385，
∴当y=1181时，5.8−385=1181，
解得x=270，
答：他家全年用水量是270立方米．
【解析】(1)根据第一阶段缴费标准，用应缴纳水费=户年用水量×(自来水单价+污水处理单价)，即可得出结论；
(2)根据图象数据和(1)的结论，用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)先判断全年数纳的水费共计1181元时，得出用水量在第二阶段，然后代入解析式求出x的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵DA=EA，
∴△DBA≌△ECA(SAS)，
∴BD=CE，
∵DE//BC(DE≠BC)，
∴四边形DBCE是等腰梯形．
(2)∵∠FBD=60°，∠ABC=60°，
∴∠FBD=∠ABC，
∴∠DBA+∠ABG=∠CBG+∠ABG，
∴∠DBA=∠CBG，
∵AB=BC，∠DAB=∠ACB=60°，
∴△DBA≌△GBC(ASA)，
∴CG=AD，
∵AD=AE=12DE，
∴CG=12DE．
【解析】(1)由等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，由平行线的性质推出∠DAB=∠EAC，又DA=EA，即可证明△DBA≌△ECA(SAS)，得到BD=CE，又DE//BC(DE≠BC)，即可证明四边形DBCE是等腰梯形．
(2)由△DBA≌△GBC(ASA)，得到CG=AD，又AD=AE=12DE，因此CG=12DE．
本题考查等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DBA≌△ECA，△DBA≌△GBC．
25.【答案】证明：(1)由折叠得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°，
∵点E是腰CD的中点，
∴BE是DC的垂直平分线，
∴DB=BC，
∴∠BDE=∠C，
∴∠BDE=∠C=∠ADB，
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴∠BDE+∠C+∠ADB=180°，
∴∠BDE=∠C=∠ADB=60°，
∴△BCD是等边三角形；
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵AD//BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°−∠A=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH，AB=DH，
由折叠得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，
∴∠BEC=180°−∠DEB=90°，DH=BE，
∵∠BEC=∠DHC=90°，∠BCE=∠DCH，
∴△BCE≌△DCH(AAS)，
∴DC=BC，CE=CH，
∵AD//BC，
∴∠DFE=∠EBC，∠FDE=∠ECB，
∴△FDE∽△BCE，
∴CEDE=BCDF，
∵CE2=DE⋅DC，
∴CEDE=DCCE，
∴BCDF=DCCE，
∴DF=CE，
∴CH=DF，
∴AD+DF=BH+CH，
∴AF=BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCF是矩形．
【解析】(1)由折叠得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°，从而可得BE是DC的垂直平分线，进而可得DB=BC，再利用等腰三角形的性质可得∠BDE=∠C，从而可得∠BDE=∠C=∠ADB，然后利用平行线的性质可得∠ADC+∠C=180°，从而可得∠BDE+∠C+∠ADB=180°，进而可得∠BDE=∠C=∠ADB=60°，最后利用等边三角形的判定，即可解答；
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据垂直定义可得∠DHB=∠DHC=90°，再利用平行线的性质可得∠ABC=90°，从而可得四边形ABHD是矩形，进而可得AD=BH，AB=DH，再利用折叠的性质可得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，从而可得∠BEC=90°，DH=BE，然后利用AAS证明△BCE≌△DCH，从而可得DC=BC，CE=CH，再证明8字模型相似三角形△FDE∽△BCE，从而可得CEDE=BCDF，最后根据已知可得CEDE=DCCE，从而可得BCDF=DCCE，进而可得DF=CE，再根据等量代换可得CH=DF，从而利用等式的性质可得AF=BC，进而可得四边形ABCF是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，直角梯形，翻折变换(折叠问题)，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°，
∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°，
∵PE⊥PB，
即∠BPE=90°，
∴∠BPG=90°−∠GPE=∠EPH，
在△PGB和△PHE中，
∠PGB=∠PHEPH=PG∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，
∴PB=PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP=90°．
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°，
∴∠PBO=90°−∠BPO=∠EPF，
∵EF⊥PC，
∴∠PFE=90°，
∴∠BOP=∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEBP=PE，
∴△BOP≌△PFE(AAS)，
∴BO=PF，EF=PO，
∵四边形ABCD是边长为4 2的正方形，
∴AO=PF=12BD=12×4 2× 2=4，
∵AP=x，
∴EF=4−x，
∴y=12PF⋅EF=12×4×(4−x)=8−4x(0
∵∠BPE=∠BCE=90°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PBC<90°，
∴∠PEC>90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP=EC，
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC>90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形；
②若点E在线段DC的延长线上，
若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE=135°，
∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°，
∴∠APB=180°−90°−22.5°=67.5°，
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，
∴∠PBR=∠CER=22.5°，
∴∠ABP=67.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=4 2，
∴AP的长为4 2．
【解析】(1)过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1.证△PGB≌△PHE，得出PB=PE，连接BD，证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，EF=OB然后得出关系式即可；
(2)可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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