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2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数z满足i⋅z=3−4i，则|z|=( )
A. 1B. 5C. 7D. 25
2. sin18°cs63°−sin72°sin117°的值为( )
A. − 22B. 22C. 12D. −12
3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
4. 已知命题p：x2−3x−10>0，命题q：x>m2−m+3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)
C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−1,2)
5. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，x0是函数f(x)=lnx+x−4的零点，则g(x0)=( )
A. 4B. 5C. 2D. 3
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
7. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. 164
B. 5564
C. 18
D. 116
8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则( )
A. BC⊥平面ABE
B. 该二十四等边体的体积为32 23
C. ME与PN所成的角为45°
D. 该二十四等边体的外接球的表面积为16π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(1,1)，b=(csθ,sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( )
A. 若b=( 22, 22)，则θ=π4B. 向量a与b夹角的取值范围是[0,3π4]
C. 与a共线的单位向量为( 22, 22)D. 存在θ，使得|a+b|=|a−b|
10. 如图为国家统计局公布的2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则( )
A. 2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B. 2017～2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C. 2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D. 2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%
11. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|的叙述正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递增
C. f(x)在[−π,π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则( )
A. 直线BC1与AB1所成的角为60°
B. 直线BC1与A1C所成的角为90°
C. 直线BC1平面ABB1A1所成的角为45°
D. 直线BC1与平面BDD1B1所成的角为45°
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=lg2x⋅lg2(2x)的最小值为______．
14. 已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为______．
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c−acsB=(2a−b)csA，则△ABC的形状是______．
16. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值．
18. (本小题12.0分)
已知向量a=(cs α,sin α)，b=(cs β,sin β)，|a−b|=4 1313．
(1)求cs(α−β)的值；
(2)若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45，求sin α的值．
19. (本小题12.0分)
定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x．
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式；
(2)若∃x∈[−2,−1]使不等式f(x)≤m2x−13x−1成立，求实数m的取值范围．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，满足a2sinC=accsBsinC+S．
(1)求角C；
(2)若bsinC+csinB=6sinB，求△ABC周长的最大值．
21. (本小题12.0分)
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人.年龄在[70,80)的老年人300人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是半球的直径，O为球心，AB=4，M，N依次是半圆AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB．
(1)证明：平面PBM⊥平面PON；
(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角A−PB−N的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii，
∴|z|=|3−4ii|=|3−4i||i|= 32+(−4)21=5．
故选：B．
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：sin72°=sin(90°−18°)=cs18°，sin117°=sin(180°−63°)=sin63°，
则sin18°cs63°−sin72°sin117°
=sin18°cs63°−cs18°sin63°
=sin(18°−63°)
=sin(−45°)
=−sin45°=− 22．
故选：A．
根据诱导公式以及和差角公式即可得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”不可以同时发生，对立，∴B不正确；
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴D不正确．
故选：C．
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可．
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵x2−3x−10>0，
∴x<−2或x>5；
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件；
∴m2−m+3≥5，
∴m≥2或m≤−1．
故选：B．
利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可推出q是p的充分不必要条件，可以推出m2−m+3≥5，求解即可．
本题考查了条件的充分性与必要性，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+x−4是在x>0时，函数是连续的增函数，
∵f(e)=1+e−4<0，f(3)=ln3−1>0，
∴函数的零点所在的区间为(e,3)，
g(x0)=[x0]=2．
故选：C．
由函数的解析式可得f(e)<0，f(3)>0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则g(x0).
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．
【解答】
解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n还可能相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，
又∵n//β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β还可能平行或α与β相交，故C错误；
若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m，n异面，故D错误．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．
【解答】
解：开关C断开的概率为12，开关D断开的概率为12，
开关A、B至少一个断开的概率为1−12×12=34，
开关E、F至少一个断开的概率为1−12×12=34，
故灯不亮的概率为12×12×34×34=964，
故灯亮的概率为1−964=5564，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，补齐正方体，如下图，
对于A，假设BC⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，
∴BE⊥BC，∴∠EBC=90°，
∵二十四等边体就是一种半正多面体，
由对称性可知，六边形EBCGQM为正六边形，
∴∠EBC=120°，
这与“∠EBC=90°”矛盾，所以假设不成立，A错误；
对于B，∵BF=FN=2，∴正方体的棱长为2 2，
∴该二十四等边体的体积为正方体体积去掉8个三棱锥体积，
即(2 2)3−8×13×12× 2× 2× 2=40 23,B错误；
对于C，∵EM//PF，
∴∠NPF为异面直线ME与PN所成角(或补角)，
在等边△NFP中，∠NPF=60°，C错误；
对于D，如图，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外接球球心，
在等腰Rt△PFC中，PC=2 2，
在正方形ACPM中，AO=2，
即外接球半径R=2，
∴该二十四等边体的外接球的表面积S=4πR2=16π，D正确．
故选：D．
依题意补齐正方体，对于A，假设BC⊥平面ABE，得到∠EBC=90°，根据六边形EBCGQM为正六边形，∠EBC=120°，得出矛盾判断A；对于B，结合几何图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为∠NPF=60°，判断C；对于D，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若b=( 22, 22)，则csθ=sinθ= 22，即tanθ=1，
又∵θ∈[0,π]，∴θ=π4，故A正确；
对于D，假设存在θ，使得|a+b|=|a−b|，
则a⊥b，即a⋅b=0，
∴csθ+sinθ=0，即tanθ=−1，
又∵θ∈[0,π]，∴θ=3π4，故D正确；
对于C，与a共线的单位向量为a|a|或−a|a|，即( 22, 22)或(− 22,− 22)，故C错误；
对于B，设向量a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=csθ+sinθ 2×1=sin(θ+π4)，
∵θ∈[0,π]，∴θ+π4∈[π4,5π4]，
∴sin(θ+π4)∈[− 22,1]，
即向量a与b夹角的余弦值范围是[− 22,1]，又θ∈[0,π]，
∴θ∈[0,3π4]，故B正确．
故选：ABD．
根据三角函数的关系可判断A，根据平面向量垂直的坐标运算可判断B，根据单位向量的定义可判断C，根据向量夹角公式，结合正弦函数的性质可判断D．
本题主要考查了平面向量平行与垂直的坐标运算，考查了向量的夹角公式，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，由图知2017∼2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；
对于C，2017∼2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为49283−36396=12887，人均消费支出的极差为30391−24445=5946，所以C正确；
对于B，由图可知2017∼2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为28063+270072=27535，所以B正确；
对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为3039149283≈0.6，小于80%，所以D不正确．
故选：BC．
根据图表逐项进行判断即可求解．
本题考查统计相关知识，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：A.∵f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，
∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当x∈(π2,π)时，f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx，f(x)在(π2,π)单调递减，故B错误；
C.当x∈[0,π]时，令f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx=0，得x=0或x=π，又f(x)在[−π,π]上为偶函数，
∴f(x)=0在[−π,π]上的根为−π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，当x=π2+2kπ(k∈Z)或x=−π2−2kπ(k∈Z)时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD．
根据函数f(x)的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，最值及函数零点的求解，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，连接AD1，D1B1，由正方体的性质知：AD1//BC1，
直线BC1与AB1所成的角即为AD1与AB1所成的角，
因为△AB1D1为等边三角形，所以直线BC1与AB1所成的角为60°，故A正确；
对于B，连接A1D，A1C，B1C，因为DC⊥平面B1BCC1，BC1⊂平面B1BCC1，
所以DC⊥BC1，又因为B1C⊥BC1，A1D//B1C，
所以A1D⊥BC1，A1D∩DC=D，A1D，DC⊂平面A1DC，
所以BC1⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，
所以BC1⊥A1C，所以直线BC1与A1C所成的角为90°，故B正确；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，所以直线BC1平面ABB1A1所成的角为∠C1BB1，∠C1BB1=45°，
所以直线BC1平面ABB1A1所成的角为45°，故C正确；
对于D，连接A1C1，B1D1交于点O，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，又因为C1O⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂平面BDD1B1，
所以C1O⊥平面BDD1B1，所以直线BC1与平面BDD1B1所成的角为∠OBC1，
设正方体的棱长为2，所以C1O=12C1A1=12× 22+22= 2，C1B=2 2，
所以sin∠OBC1= 22 2=12，所以∠OBC1=30°，
所以直线BC1与平面BDD1B1所成的角为30°，故D错误．
故选：ABC．
由异面直线所成角可判断A，B；直线与平面所成角可判断C，D．
本题考查了异面直线所成角和线面角的计算，属于中档题．
13.【答案】−14
【解析】解：设lg2x=t∈R，
则f(x)=t(1+t)=t2+t=(t+12)2−14≥−14，当t=−12，即lg2x=−12，x= 22时取等号．
∴函数f(x)的最小值为−14．
故答案为：−14．
设lg2x=t∈R，则f(x)=t(1+t)=(t+12)2−14，利用二次函数的单调性即可得出．
本题考查了对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】π3
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直的判断与证明，两个向量的数量积，属于基础题．根据两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出a与b的夹角的余弦值，可得a与b的夹角．
【解答】
解：∵非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，设a与b的夹角为θ，
则(a−b)⋅b=a⋅b−b2=2|b|⋅|b|csθ−|b|2=0，
∴csθ=12，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π3，
故答案为：π3．
15.【答案】等腰或直角三角形
【解析】解：在△ABC中，∵c−acsB=(2a−b)csA，C=π−(A+B)，
∴由正弦定理得：sinC−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴sinAcsB+csAsinB−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴csA(sinB−sinA)=0，
∵csA=0，或sinB=sinA，
∴A=π2或B=A或B=π−A(舍去)，
可得△ABC的形状是等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得csA(sinB−sinA)=0，从而可得A=π2或B=A或B=π−A(舍去)，即可判断三角形的形状．
本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．
16.【答案】23
【解析】解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，其中互质的有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(6,7)，(7,8)共14种，
故所求概率为1421=23，
故答案为：23．
根据题意，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，再列举出互质的情况数，利用古典概型概率计算公式可解．
本题考查古典概型概率计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则有rR=h−xh，
变形可得：r=Rh(h−x)，
则圆柱的侧面积S=2πrh=2πRh(h−x)x，
(2)根据题意，由(1)的结论，S=2πRh(h−x)x，
又由(h−x)x≤[(h−x)+x2]2=h24，当且仅当x=h2时等号成立，
则有S≤2πRh×h24=πRh2，
故圆柱的侧面积的最大值为πRh2，此时x=h2．
【解析】(1)根据题意，设圆柱底面半径为r，作出圆锥、圆柱的轴截面，分析可得r=Rh(h−x)，由圆柱的侧面积公式计算可得答案；
(2)根据题意，由(1)的结论，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查圆柱和圆锥的几何结构，涉及圆柱的侧面积，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a=(csα,sinα)，b=(csβ,sinβ)，|
∴a−b=(cs α−cs β，sin α−sin β )．
∴|a−b|2=(cs α−cs β)2+(sin α−sin β )2=2−2cs(α−β)=1613，
∴cs(α−β)=513．
(2)∵0<α<π2，−π2<β<0，且sinβ=−45，
∴csβ=35，且0<α−β<π．
又∵cs(α−β)=513，∴sin(α−β)=1213，
∴sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)csβ+cs(α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．
【解析】(1)利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cs(α−β)的值；
(2)利用sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)csβ+cs(α−β)⋅sin β，可得结论．
本题考查向量知识的运用，考查和差的三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x，
所以f(0)=140+a30=0，解得a=−1，
所以x∈[−4,0]时，f(x)=14x−13x，
当x∈[0,4]时，−x∈[−4,0]，
所以f(−x)=14−x−13−x=4x−3x，
又f(−x)=−f(x)，
所以−f(x)=4x−3x，f(x)=3x−4x，
即f(x)在0，4]上的解析式为f(x)=3x−4x．
(2)因为x∈[−2,−1]时，f(x)=14x−13x，
所以f(x)≤m2x−13x−1可化为14x−13x≤m2x−13x−1，整理得m≥12x+2x+13x=(12)x+2⋅(23)x，
令g(x)=(12)x+2⋅(23)x，根据指数函数单调性可得，y=(12)x与y=(23)x都是减函数，
所以g(x)也是减函数，
g(x)min=g(−1)=(12)−1+2⋅(23)−1=5，
所以m≥5，
故实数m的取值范围是[5,+∞)．
【解析】(1)结合奇函数在原点有意义时，有f(0)=0，即可求出a的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；
(2)参变分离后构造函数g(x)=(12)x+2⋅(23)x，根据函数g(x)的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果．
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵a2sinC=accsBsinC+S，
∴a2sinC=accsBsinC+12absinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，
∴a=ccsB+12b，∴sinA=sinCcsB+12sinB，
∴sin(B+C)=sinCcsB+12sinB，
∴sinBcsC=12sinB，
∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，
∴csC=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3；
(2)∵bsinC+csinB=6sinB，
∴bc+bc=6b，∴2c=6，c=3，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，∴9=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
∴(a+b)2=9+3ab≤9+3×(a+b2)2，∴14(a+b)2≤9，
∴(a+b)2≤36，∴a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号，
∴△ABC周长的最大值为6+3=9．
【解析】(1)由已知可得a2sinC=accsBsinC+12absinC，进而得sinA=sinCcsB+12sinB，可得csC=12，可求C；
(2)由已知得bc+bc=6b，可求c，进而由余弦定理可得9=(a+b)2−3ab，利用基本不等式可求a+b的最大值，可求△ABC周长的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属中档题．
21.【答案】解：(1)频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×2+0.08×3+0.18×4+0.26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35，
由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1−0.04×1=0.96，
年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1−(0.05×1+0.04×1)=0.91，
因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，
由7.5+1×0.95−，
可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3．
(2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x−，方差记为sx2；
年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y−，方差记为sy2；
年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z−，方差记为s2．
由(1)得x−=5.35，由题意得，sx2=3，y−=3.75，sy2=1.4，
则z−=500500+300×x−+300500+300×y−=4.75，
由s2=1800×{500×[sx2+(x−−z−)2]+300×[sy2+(y−−z−)2]}，
可得s2=1800×{500×[3+(5.35−4.75)2]+300×[1.4+(3.75−4.75)2]}=3，
即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3．
【解析】(1)根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：x−=i=1nxipi，求得平均数；先计算出第95百分位数位于[7.5,8.5)内，列出式子即可求解；
(2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x−，方差记为sx2；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y−，方差记为sy2；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z−，方差记为s2，根据样本中不同层的方差公式得到s2=1800×{500×[sx2+(x−−z−)2]+300×[sy2+(y−−z−)2]}，即可求解．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
22.【答案】解：(1)证明：连接OM，MN，如图，M，N是半圆AB上的两个三等分点，
则有∠MON=∠NOB=60°，
∵OM=ON=OB=2，∴△MON，△NOB都是正三角形，∴MN=NB=BO=OM，
四边形OMNB是菱形，ON⊥MB，
∵PN⊥MB，PN∩ON=N，PN、ON⊂平面PON，
∴MB⊥平面PON，BM⊂平面PBM，
∴平面PBM⊥平面PON．
(2)由(1)知，平面PON⊥平面OMNB，平面PON∩平面OMNB−ON，
则点P在底面圆内的射影在ON上，
∵点P在底面圆内的射影在BM上，
∴点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q，
∴PQ= PO2−OQ2= 3，∵BQ= 3，∴PB= PQ2+BQ2= 6，
取PB的中点C，连接CN，CO，得CN⊥PB，CQ⊥PB，
∴∠OCN是二面角A−PB−N的平面角，
在△OCN中，CN=CO= OB2−BC2= 22−( 62)2= 102，
∴cs∠OCN=CN2+CO2−ON22⋅CN⋅CO=( 102)2+( 102)2−42× 102× 102=15，
∴二面角A−PB−N的余弦值是15．
【解析】(1)连接OM，MN，证明ON⊥MB，再利用线面、面面垂直的判定能证明平面PBM⊥平面PON；
(2)确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角A−PB−N的平面角，然后解三角形能求出二面角A−PB−N的余弦值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、射影、二面角、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数z满足i⋅z=3−4i，则|z|=( )
A. 1B. 5C. 7D. 25
2. sin18°cs63°−sin72°sin117°的值为( )
A. − 22B. 22C. 12D. −12
3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
4. 已知命题p：x2−3x−10>0，命题q：x>m2−m+3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)
C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−1,2)
5. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，x0是函数f(x)=lnx+x−4的零点，则g(x0)=( )
A. 4B. 5C. 2D. 3
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
7. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. 164
B. 5564
C. 18
D. 116
8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则( )
A. BC⊥平面ABE
B. 该二十四等边体的体积为32 23
C. ME与PN所成的角为45°
D. 该二十四等边体的外接球的表面积为16π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(1,1)，b=(csθ,sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( )
A. 若b=( 22, 22)，则θ=π4B. 向量a与b夹角的取值范围是[0,3π4]
C. 与a共线的单位向量为( 22, 22)D. 存在θ，使得|a+b|=|a−b|
10. 如图为国家统计局公布的2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则( )
A. 2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B. 2017～2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C. 2017～2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D. 2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%
11. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|的叙述正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递增
C. f(x)在[−π,π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则( )
A. 直线BC1与AB1所成的角为60°
B. 直线BC1与A1C所成的角为90°
C. 直线BC1平面ABB1A1所成的角为45°
D. 直线BC1与平面BDD1B1所成的角为45°
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=lg2x⋅lg2(2x)的最小值为______．
14. 已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为______．
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c−acsB=(2a−b)csA，则△ABC的形状是______．
16. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值．
18. (本小题12.0分)
已知向量a=(cs α,sin α)，b=(cs β,sin β)，|a−b|=4 1313．
(1)求cs(α−β)的值；
(2)若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45，求sin α的值．
19. (本小题12.0分)
定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x．
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式；
(2)若∃x∈[−2,−1]使不等式f(x)≤m2x−13x−1成立，求实数m的取值范围．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，满足a2sinC=accsBsinC+S．
(1)求角C；
(2)若bsinC+csinB=6sinB，求△ABC周长的最大值．
21. (本小题12.0分)
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人.年龄在[70,80)的老年人300人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是半球的直径，O为球心，AB=4，M，N依次是半圆AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB．
(1)证明：平面PBM⊥平面PON；
(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角A−PB−N的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii，
∴|z|=|3−4ii|=|3−4i||i|= 32+(−4)21=5．
故选：B．
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：sin72°=sin(90°−18°)=cs18°，sin117°=sin(180°−63°)=sin63°，
则sin18°cs63°−sin72°sin117°
=sin18°cs63°−cs18°sin63°
=sin(18°−63°)
=sin(−45°)
=−sin45°=− 22．
故选：A．
根据诱导公式以及和差角公式即可得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”不可以同时发生，对立，∴B不正确；
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴D不正确．
故选：C．
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可．
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵x2−3x−10>0，
∴x<−2或x>5；
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件；
∴m2−m+3≥5，
∴m≥2或m≤−1．
故选：B．
利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可推出q是p的充分不必要条件，可以推出m2−m+3≥5，求解即可．
本题考查了条件的充分性与必要性，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+x−4是在x>0时，函数是连续的增函数，
∵f(e)=1+e−4<0，f(3)=ln3−1>0，
∴函数的零点所在的区间为(e,3)，
g(x0)=[x0]=2．
故选：C．
由函数的解析式可得f(e)<0，f(3)>0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则g(x0).
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．
【解答】
解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n还可能相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，
又∵n//β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β还可能平行或α与β相交，故C错误；
若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m，n异面，故D错误．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．
【解答】
解：开关C断开的概率为12，开关D断开的概率为12，
开关A、B至少一个断开的概率为1−12×12=34，
开关E、F至少一个断开的概率为1−12×12=34，
故灯不亮的概率为12×12×34×34=964，
故灯亮的概率为1−964=5564，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，补齐正方体，如下图，
对于A，假设BC⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，
∴BE⊥BC，∴∠EBC=90°，
∵二十四等边体就是一种半正多面体，
由对称性可知，六边形EBCGQM为正六边形，
∴∠EBC=120°，
这与“∠EBC=90°”矛盾，所以假设不成立，A错误；
对于B，∵BF=FN=2，∴正方体的棱长为2 2，
∴该二十四等边体的体积为正方体体积去掉8个三棱锥体积，
即(2 2)3−8×13×12× 2× 2× 2=40 23,B错误；
对于C，∵EM//PF，
∴∠NPF为异面直线ME与PN所成角(或补角)，
在等边△NFP中，∠NPF=60°，C错误；
对于D，如图，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外接球球心，
在等腰Rt△PFC中，PC=2 2，
在正方形ACPM中，AO=2，
即外接球半径R=2，
∴该二十四等边体的外接球的表面积S=4πR2=16π，D正确．
故选：D．
依题意补齐正方体，对于A，假设BC⊥平面ABE，得到∠EBC=90°，根据六边形EBCGQM为正六边形，∠EBC=120°，得出矛盾判断A；对于B，结合几何图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为∠NPF=60°，判断C；对于D，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若b=( 22, 22)，则csθ=sinθ= 22，即tanθ=1，
又∵θ∈[0,π]，∴θ=π4，故A正确；
对于D，假设存在θ，使得|a+b|=|a−b|，
则a⊥b，即a⋅b=0，
∴csθ+sinθ=0，即tanθ=−1，
又∵θ∈[0,π]，∴θ=3π4，故D正确；
对于C，与a共线的单位向量为a|a|或−a|a|，即( 22, 22)或(− 22,− 22)，故C错误；
对于B，设向量a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=csθ+sinθ 2×1=sin(θ+π4)，
∵θ∈[0,π]，∴θ+π4∈[π4,5π4]，
∴sin(θ+π4)∈[− 22,1]，
即向量a与b夹角的余弦值范围是[− 22,1]，又θ∈[0,π]，
∴θ∈[0,3π4]，故B正确．
故选：ABD．
根据三角函数的关系可判断A，根据平面向量垂直的坐标运算可判断B，根据单位向量的定义可判断C，根据向量夹角公式，结合正弦函数的性质可判断D．
本题主要考查了平面向量平行与垂直的坐标运算，考查了向量的夹角公式，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，由图知2017∼2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；
对于C，2017∼2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为49283−36396=12887，人均消费支出的极差为30391−24445=5946，所以C正确；
对于B，由图可知2017∼2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为28063+270072=27535，所以B正确；
对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为3039149283≈0.6，小于80%，所以D不正确．
故选：BC．
根据图表逐项进行判断即可求解．
本题考查统计相关知识，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：A.∵f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，
∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当x∈(π2,π)时，f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx，f(x)在(π2,π)单调递减，故B错误；
C.当x∈[0,π]时，令f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx=0，得x=0或x=π，又f(x)在[−π,π]上为偶函数，
∴f(x)=0在[−π,π]上的根为−π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，当x=π2+2kπ(k∈Z)或x=−π2−2kπ(k∈Z)时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD．
根据函数f(x)的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，最值及函数零点的求解，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，连接AD1，D1B1，由正方体的性质知：AD1//BC1，
直线BC1与AB1所成的角即为AD1与AB1所成的角，
因为△AB1D1为等边三角形，所以直线BC1与AB1所成的角为60°，故A正确；
对于B，连接A1D，A1C，B1C，因为DC⊥平面B1BCC1，BC1⊂平面B1BCC1，
所以DC⊥BC1，又因为B1C⊥BC1，A1D//B1C，
所以A1D⊥BC1，A1D∩DC=D，A1D，DC⊂平面A1DC，
所以BC1⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，
所以BC1⊥A1C，所以直线BC1与A1C所成的角为90°，故B正确；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，所以直线BC1平面ABB1A1所成的角为∠C1BB1，∠C1BB1=45°，
所以直线BC1平面ABB1A1所成的角为45°，故C正确；
对于D，连接A1C1，B1D1交于点O，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，又因为C1O⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂平面BDD1B1，
所以C1O⊥平面BDD1B1，所以直线BC1与平面BDD1B1所成的角为∠OBC1，
设正方体的棱长为2，所以C1O=12C1A1=12× 22+22= 2，C1B=2 2，
所以sin∠OBC1= 22 2=12，所以∠OBC1=30°，
所以直线BC1与平面BDD1B1所成的角为30°，故D错误．
故选：ABC．
由异面直线所成角可判断A，B；直线与平面所成角可判断C，D．
本题考查了异面直线所成角和线面角的计算，属于中档题．
13.【答案】−14
【解析】解：设lg2x=t∈R，
则f(x)=t(1+t)=t2+t=(t+12)2−14≥−14，当t=−12，即lg2x=−12，x= 22时取等号．
∴函数f(x)的最小值为−14．
故答案为：−14．
设lg2x=t∈R，则f(x)=t(1+t)=(t+12)2−14，利用二次函数的单调性即可得出．
本题考查了对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】π3
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直的判断与证明，两个向量的数量积，属于基础题．根据两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出a与b的夹角的余弦值，可得a与b的夹角．
【解答】
解：∵非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，设a与b的夹角为θ，
则(a−b)⋅b=a⋅b−b2=2|b|⋅|b|csθ−|b|2=0，
∴csθ=12，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π3，
故答案为：π3．
15.【答案】等腰或直角三角形
【解析】解：在△ABC中，∵c−acsB=(2a−b)csA，C=π−(A+B)，
∴由正弦定理得：sinC−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴sinAcsB+csAsinB−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴csA(sinB−sinA)=0，
∵csA=0，或sinB=sinA，
∴A=π2或B=A或B=π−A(舍去)，
可得△ABC的形状是等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得csA(sinB−sinA)=0，从而可得A=π2或B=A或B=π−A(舍去)，即可判断三角形的形状．
本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．
16.【答案】23
【解析】解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，其中互质的有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(6,7)，(7,8)共14种，
故所求概率为1421=23，
故答案为：23．
根据题意，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，再列举出互质的情况数，利用古典概型概率计算公式可解．
本题考查古典概型概率计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则有rR=h−xh，
变形可得：r=Rh(h−x)，
则圆柱的侧面积S=2πrh=2πRh(h−x)x，
(2)根据题意，由(1)的结论，S=2πRh(h−x)x，
又由(h−x)x≤[(h−x)+x2]2=h24，当且仅当x=h2时等号成立，
则有S≤2πRh×h24=πRh2，
故圆柱的侧面积的最大值为πRh2，此时x=h2．
【解析】(1)根据题意，设圆柱底面半径为r，作出圆锥、圆柱的轴截面，分析可得r=Rh(h−x)，由圆柱的侧面积公式计算可得答案；
(2)根据题意，由(1)的结论，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查圆柱和圆锥的几何结构，涉及圆柱的侧面积，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a=(csα,sinα)，b=(csβ,sinβ)，|
∴a−b=(cs α−cs β，sin α−sin β )．
∴|a−b|2=(cs α−cs β)2+(sin α−sin β )2=2−2cs(α−β)=1613，
∴cs(α−β)=513．
(2)∵0<α<π2，−π2<β<0，且sinβ=−45，
∴csβ=35，且0<α−β<π．
又∵cs(α−β)=513，∴sin(α−β)=1213，
∴sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)csβ+cs(α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．
【解析】(1)利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cs(α−β)的值；
(2)利用sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)csβ+cs(α−β)⋅sin β，可得结论．
本题考查向量知识的运用，考查和差的三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，x∈[−4,0]时，f(x)=14x+a3x，
所以f(0)=140+a30=0，解得a=−1，
所以x∈[−4,0]时，f(x)=14x−13x，
当x∈[0,4]时，−x∈[−4,0]，
所以f(−x)=14−x−13−x=4x−3x，
又f(−x)=−f(x)，
所以−f(x)=4x−3x，f(x)=3x−4x，
即f(x)在0，4]上的解析式为f(x)=3x−4x．
(2)因为x∈[−2,−1]时，f(x)=14x−13x，
所以f(x)≤m2x−13x−1可化为14x−13x≤m2x−13x−1，整理得m≥12x+2x+13x=(12)x+2⋅(23)x，
令g(x)=(12)x+2⋅(23)x，根据指数函数单调性可得，y=(12)x与y=(23)x都是减函数，
所以g(x)也是减函数，
g(x)min=g(−1)=(12)−1+2⋅(23)−1=5，
所以m≥5，
故实数m的取值范围是[5,+∞)．
【解析】(1)结合奇函数在原点有意义时，有f(0)=0，即可求出a的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；
(2)参变分离后构造函数g(x)=(12)x+2⋅(23)x，根据函数g(x)的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果．
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵a2sinC=accsBsinC+S，
∴a2sinC=accsBsinC+12absinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，
∴a=ccsB+12b，∴sinA=sinCcsB+12sinB，
∴sin(B+C)=sinCcsB+12sinB，
∴sinBcsC=12sinB，
∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，
∴csC=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3；
(2)∵bsinC+csinB=6sinB，
∴bc+bc=6b，∴2c=6，c=3，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，∴9=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
∴(a+b)2=9+3ab≤9+3×(a+b2)2，∴14(a+b)2≤9，
∴(a+b)2≤36，∴a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号，
∴△ABC周长的最大值为6+3=9．
【解析】(1)由已知可得a2sinC=accsBsinC+12absinC，进而得sinA=sinCcsB+12sinB，可得csC=12，可求C；
(2)由已知得bc+bc=6b，可求c，进而由余弦定理可得9=(a+b)2−3ab，利用基本不等式可求a+b的最大值，可求△ABC周长的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属中档题．
21.【答案】解：(1)频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×2+0.08×3+0.18×4+0.26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35，
由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1−0.04×1=0.96，
年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1−(0.05×1+0.04×1)=0.91，
因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，
由7.5+1×0.95−，
可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3．
(2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x−，方差记为sx2；
年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y−，方差记为sy2；
年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z−，方差记为s2．
由(1)得x−=5.35，由题意得，sx2=3，y−=3.75，sy2=1.4，
则z−=500500+300×x−+300500+300×y−=4.75，
由s2=1800×{500×[sx2+(x−−z−)2]+300×[sy2+(y−−z−)2]}，
可得s2=1800×{500×[3+(5.35−4.75)2]+300×[1.4+(3.75−4.75)2]}=3，
即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3．
【解析】(1)根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：x−=i=1nxipi，求得平均数；先计算出第95百分位数位于[7.5,8.5)内，列出式子即可求解；
(2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x−，方差记为sx2；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y−，方差记为sy2；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z−，方差记为s2，根据样本中不同层的方差公式得到s2=1800×{500×[sx2+(x−−z−)2]+300×[sy2+(y−−z−)2]}，即可求解．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
22.【答案】解：(1)证明：连接OM，MN，如图，M，N是半圆AB上的两个三等分点，
则有∠MON=∠NOB=60°，
∵OM=ON=OB=2，∴△MON，△NOB都是正三角形，∴MN=NB=BO=OM，
四边形OMNB是菱形，ON⊥MB，
∵PN⊥MB，PN∩ON=N，PN、ON⊂平面PON，
∴MB⊥平面PON，BM⊂平面PBM，
∴平面PBM⊥平面PON．
(2)由(1)知，平面PON⊥平面OMNB，平面PON∩平面OMNB−ON，
则点P在底面圆内的射影在ON上，
∵点P在底面圆内的射影在BM上，
∴点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q，
∴PQ= PO2−OQ2= 3，∵BQ= 3，∴PB= PQ2+BQ2= 6，
取PB的中点C，连接CN，CO，得CN⊥PB，CQ⊥PB，
∴∠OCN是二面角A−PB−N的平面角，
在△OCN中，CN=CO= OB2−BC2= 22−( 62)2= 102，
∴cs∠OCN=CN2+CO2−ON22⋅CN⋅CO=( 102)2+( 102)2−42× 102× 102=15，
∴二面角A−PB−N的余弦值是15．
【解析】(1)连接OM，MN，证明ON⊥MB，再利用线面、面面垂直的判定能证明平面PBM⊥平面PON；
(2)确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角A−PB−N的平面角，然后解三角形能求出二面角A−PB−N的余弦值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、射影、二面角、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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