适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量解答题专项四第2课时求空间角北师大版

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解答题专项四　立体几何中的综合问题
第2课时　求空间角
解答题专项练
1.(2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中

,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE.

∵CD=1,BE=AB=1,CD∥BE,
∴四边形CDEB是平行四边形,∴DE=CB=1.
∵DE=AB,
∴△ABD为直角三角形,AB为斜边,
∴BD⊥AD.
∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D,
∴BD⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA.
(2)解:由(1)知,PD,AD,BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=.
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),
∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0).
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=,则y=z=1,则n=(,1,1).
设直线PD与平面PAB所成的角为θ,
则sinθ=|cos<,n>|=,
∴直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
2.(2022·广东茂名二模)

如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.
(1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,
因为EG∥AD,EG⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EG∥平面ABCD,
因为AG∥CF,AG=CF,所以四边形AGFC是平行四边形,
FG∥AC,又FG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以FG∥平面ABCD,
因为FG∩EG=G,
所以平面EFG∥平面ABCD,
因为EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
(2)解:设CD=BC=AA1=AB=2,
由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°,
易知AC⊥BC,所以AC==2,

由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(,-1,0),E,-,2,
所以=-,2,=(0,-2,4),
设平面C1EB的一个法向量为n=(x,y,z),
由取z=1,得n=,2,1,
连接BD,因为BD⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1D,
所以平面AA1D的一个法向量为=(-,3,0),
所以cos<,n>=,
所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为.
3.(2022·山东泰安二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PD=AD,PD⊥平面ABCD,M为BC中点,=λ(0<λ<1).

(1)求证:平面DMN⊥平面PAD;
(2)当λ取何值时,二面角B-DN-M的余弦值为.
(1)证明:∵底面ABCD为菱形,∠DCB=∠DAB=60°,
∴△DBC为正三角形,
∵M为BC中点,∴DM⊥BC,
又BC∥AD,∴DM⊥AD,
∵PD⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD,
∴DM⊥PD.
又PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,
∴DM⊥平面PAD,
又DM⊂平面DMN,
∴平面DMN⊥平面PAD.

(2)解:由(1)知,DA,DM,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2a,DM=2asin60°=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),P(0,0,2a),M(0,a,0),A(2a,0,0),C(-a,a,0).
∴=(a,a,-2a),=(-3a,a,0),
∵=λ(0<λ<1),
∴N(λa,λa,2a(1-λ)),
∴=(λa,λa,2a(1-λ)),=(0,a,0),设n=(x,y,z)为平面DNM的一个法向量,
则
∴
取z=λ,则
∴n=(2(λ-1),0,λ).
连接AC,AC⊥BD,AC⊥PD,BD∩PD=D,
故AC⊥平面DNB,
∴为平面DNB的一个法向量.
∴|cos|=
=
=,
解得λ=,∴当λ=时,二面角B-DN-M的余弦值为.
4.(2022·山东枣庄一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,过点D1作出正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,使得该截面平行于平面BEF.

(1)作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由;
(2)求BD1与该截面所在平面所成角的正弦值.
(截面:用一个平面去截一个几何体,平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.)
解:(1) 设G,H分别是棱BC,CC1的中点,顺次连接D1,A,G,H,则四边形D1AGH即为所求的截面.

理由如下:因为点G,H分别是棱BC,CC1的中点,故BC1∥GH,
又BC1∥D1A,所以GH∥D1A,而两平行直线确定一个平面,
所以四边形D1AGH为平面图形.
因为点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,故D1A∥EF,
又D1A⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以D1A∥平面BEF.
因为,
所以.
又E,B,D1,H不共线,所以EB∥D1H,
又D1H⊄平面BEF,EB⊂平面BEF,所以D1H∥平面BEF,
又D1A∩D1H=D1,D1A⊂平面D1AGH,D1H⊂平面D1AGH,
所以平面D1AGH∥平面BEF.

(2)易知BD1与该截面所在平面所成角的正弦值,即BD1与平面BEF所成角的正弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则B(2,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(1,0,2),故=(0,-2,1),=(-1,0,1),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),
则令z=2,可得m=(2,1,2),
又=(-2,-2,2),
所以cos==-,
故BD1与平面BEF所成角的正弦值为,
即BD1与该截面所在平面所成角的正弦值为.