适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何解答题专项五第3课时证明与探究问题北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何解答题专项五第3课时证明与探究问题北师大版，共3页。试卷主要包含了双曲线C等内容，欢迎下载使用。

解答题专项五　圆锥曲线中的综合问题
第3课时　证明与探究问题
解答题专项练
1.(2022·江苏南京、盐城二模)双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点(,1),且渐近线方程为y=±x.
(1)求a,b的值;
(2)点A,B,D是双曲线C上不同的三点,且B,D两点关于y轴对称,△ABD的外接圆经过原点O.求证:直线AB与圆x2+y2=1相切.
(1)解:由题意可得解得a=b=,则C:x2-y2=2.
(2)证明:易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+n,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(-x2,y2),y1≠y2,联立整理得(m2-1)y2+2mny+n2-2=0,则y1y2=.
由于外接圆过原点且关于y轴对称,故可设为x2+y2+Ey=0,则则y2()=y1(),y2(2+2)=y1(2+2),则y1y2=1,所以y1y2==1,n2=m2+1.
则原点到直线AB的距离d==1,故直线AB与圆x2+y2=1相切,得证.
2.(2022·河北秦皇岛三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F之间的距离为9,点M到x轴的距离为4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,E为直线x=-1上任意一点,证明:直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.
(1)解:设点M(x0,y0),由题意可知|y0|=4,
所以(4)2=2px0,解得x0=8.
因为|MF|=x0+=8+=9,所以p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+1,A,y1,B,y2,联立消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.
设E(-1,n),则kEA+kEB==
=
=-n.
又因为kEF=-,所以kEA+kEB=2kEF,即直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.
3.在平面直角坐标系Oxy中,动圆Q过点(0,1)且与直线y=-1相切,动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l:y=kx+a(a>0)交曲线C于M,N两点.y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,都有∠OPM=∠OPN?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设动圆圆心Q(x,y),则点Q到定点(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离,∴圆心Q的轨迹为抛物线x2=4y,∴曲线C的方程为x2=4y.
(2)存在.设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
联立得x2-4kx-4a=0.
∵Δ=16k2+16a>0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.
∴k1+k2=.
当b=-a时,k1+k2=0,∴直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,∴∠OPM=∠OPN,
∴存在点P(0,-a),使得∠OPM=∠OPN.
4.双曲线C2:=1(a>0,b>0)的顶点与椭圆C1:+y2=1长轴的两个端点重合,且一条渐近线的方程为y=x.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)过双曲线C2右焦点F作直线l1与C2分别交于左右两支上的点P,Q,又过原点O作直线l2,使l2∥l1,且与双曲线C2分别交于左右两支上的点M,N.是否存在定值λ,使得||·=λ?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵椭圆C1:+y2=1,∴a=.
又双曲线的一条渐近线方程为y=x,
∴,∴b=1,
∴双曲线C2的方程为-y2=1.
(2)存在定值λ,使得||·=λ.
∵同向,∴λ=.
由题可知,直线l1,l2斜率存在.
当直线斜率为零时,||=||=2,
∴λ=2.
当直线斜率不为零时,设l1:x=ty+2.
联立得(t2-3)y2+4ty+1=0.
∵t2-3≠0,Δ=16t2-4(t2-3)>0,
∴t≠±,
∴y1+y2=,y1y2=,
∵l1与l2分别交于左右两支上的点P,Q,
∴x1x2<0.
∴(ty1+2)(ty2+2)<0,
∴t2-3>0,∴t>或t<-.
∴||==
.
∵l2∥l1,∴l2:x=ty.
联立得(t2-3)y2=3,
∴y2=,
∴=(·|y-(-y)|)2=(1+t2)·4y2=,
∴λ==2,
∴存在定值λ=2,使得||·=λ.