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    适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版

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    适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版

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    这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版,共7页。试卷主要包含了已知椭圆C,已知抛物线C,已知椭圆T,已知斜率为1的直线l与双曲线C等内容,欢迎下载使用。
    课时规范练46
    基础巩固组
    1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (  )
    A.直线与抛物线有一个公共点
    B.直线与抛物线有两个公共点
    C.直线与抛物线有一个或两个公共点
    D.直线与抛物线可能没有公共点
    答案:C
    解析:∵直线y=kx-k=k(x-1),
    ∴直线过定点(1,0).
    当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;
    当k≠0时,点(1,0)在x轴正半轴上,所以直线与抛物线有两个公共点.
    综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点.故选C.
    2.(2023·海南嘉积中学模拟)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点,则|AB|等于(  )
    A. B.
    C. D.
    答案:A
    解析:设直线AB方程为y=x-1,代入椭圆方程=1,整理可得7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,根据弦长公式有AB=.
    3.(2023·安徽合肥模拟)已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的中点为(4,2),则l的方程为(  )
    A.x-y-2=0 B.2x-y-6=0
    C.x+y-6=0 D.x-2y=0
    答案:A
    解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
    若直线l⊥x轴,则线段AB的中点在x轴上,不符合题意,则直线l的斜率存在,由已知两式作差可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),所以直线l的斜率为=1,因此直线l的方程为y-2=x-4,即x-y-2=0.
    4.(2023·天津西青高三检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为(  )
    A.=1 B.=1
    C.=1 D.=1
    答案:C
    解析:直线l的方程为y=·(x-3),即y=x-3.
    设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0),由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0,Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0.
    因为弦AB的中点为N(-4,-7),所以-=-4,即a2=b2.
    又a2+b2=9,解得a2=,b2=,满足Δ>0,所以双曲线E的方程为=1,即=1.
    5.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=9x上,则实数m的值为(  )
    A.4 B.-4 C.0或4 D.0或-4
    答案:D
    解析:∵M,N关于y=x+m对称,
    ∴直线MN的斜率为-1.
    设MN的中点P(x0,x0+m),直线MN:y=-x+b,
    ∵点P在MN上,
    ∴x0+m=-x0+b,∴b=2x0+m.
    由消元可得2x2+2bx-b2-3=0,Δ=4b2-4×2(-b2-3)=12b2+24>0恒成立,
    设M(xM,yM),N(xN,yN),
    ∴xM+xN=-b,∴x0=-,
    ∴b=,∴MN的中点P-m.
    ∵MN的中点在抛物线y2=9x上,
    ∴m2=-,∴m=0或m=-4.
    6.(2022·山东济南三模)已知抛物线y2=2px(p>0),若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点,则p的值可以是     .(写出一个符合题意的答案即可) 
    答案:3(答案不唯一)
    解析:若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点,则当x=1时,y=≥2,解得p≥2.
    7.已知椭圆T:=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A,B两点,若|AB|=,则椭圆T的方程为     . 
    答案:=1
    解析:∵a=2b,则c=b,
    ∴椭圆T:=1,左焦点F(-b,0).
    设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去y得5x2+8bx+8b2=0,
    ∴x1+x2=-b,x1x2=,|AB|=,可得b2=2.
    ∴椭圆T:=1.
    8.已知斜率为1的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)相交于B,D两点,且BD的中点为M(1,3),则C的离心率是     . 
    答案:2
    解析:设B(x1,y1),D(x2,y2),则两式作差可得,即.
    因为M(1,3)为BD中点,所以x1+x2=2,y1+y2=6.
    又直线BD斜率为1,所以=1,代入可得,=3,所以C的离心率e==2.
    9.过双曲线x2-=1的左焦点F,作倾斜角为的直线l.
    (1)求证:l与双曲线有两个不同的交点A,B;
    (2)求线段AB的中点M的坐标和|AB|.
    (1)证明:由双曲线方程知F(-2,0),则l:y=(x+2).
    由得8x2-4x-13=0,则Δ=16-32×(-13)>0,
    ∴l与双曲线有两个不同的交点A,B.
    (2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
    由(1)得∴xM=,
    ∴yM=+2=,
    ∴M,|AB|==3.
    10.(2023·陕西宝鸡中学高三检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.
    (1)若a=-1,求△FAB的面积;
    (2)若抛物线C上存在两个不同的点M,N关于直线l对称,求实数a的取值范围.
    解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
    当a=-1时,直线l:y=2x-1,
    联立可得x2-2x+=0,
    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=.
    |AB|=.
    点F到直线l的距离d=,
    ∴△FAB的面积S=|AB|·d=.
    (2)∵点M,N关于直线l对称,
    ∴直线MN的斜率为-,
    ∴可设直线MN的方程为y=-x+m,联立整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由Δ=(4m+16)2-16m2>0,可得m>-2.
    设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=4m+16,y3+y4=-(x3+x4)+2m=-8,故MN的中点为(2m+8,-4).
    ∵点M,N关于直线l对称,
    ∴MN的中点(2m+8,-4)在直线y=2x+a上,
    ∴-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.
    ∵m>-2,∴a0,b>0)的离心率为2,直线l与C交于P,Q两点,D为线段PQ的中点,O为坐标原点,则l与OD的斜率的乘积为(  )
    A.2 B.3 C.4 D.6
    答案:B
    解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),D(x0,y0),
    则两式作差,并化简得,
    所以.
    因为D为线段PQ的中点,所以所以,即e2-1=klkOD.
    由e=2,得klkOD=3.
    12.椭圆+y2=1,则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为 . 
    答案:y=-(-

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