适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第六章数列课时规范练26数列的概念与简单表示法北师大版

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课时规范练26
基础巩固组
1.(2023·河南平顶山高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1,则a10=(　　)
A.512 B.1 025
C.256 D.1 024
答案:A
解析:由数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1,得a10=S10-S9=(210+1)-(29+1)=512.故选A.
2.(2023·广东佛山高三月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则满足an>的n的最大取值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:C
解析:因为a1=1,an+1=,所以=4+,即=4.又=1,所以数列是以1为首项,4为公差的等差数列,于是=1+4(n-1)=4n-3,所以an=.由an>,即,即0<4n-3<37,解得 3.(2023·山东东营高三月考)在数列{an}中,a1=2,an=1-(n≥2),则a2 022等于(　　)
A.- B. C.-1 D.2
答案:C
解析:由a1=2,an=1-(n≥2),可得a2=1-,a3=1-=-1,a4=1-=2,a5=1-,故数列{an}为周期为3的周期数列,而2022=3×674,故a2022=a3=-1.故选C.
4.(2023·浙江温州高三模拟)已知数列{an}为递增数列,前n项和Sn=n2+n+λ,则实数λ的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.(-∞,0] D.(-∞,0)
答案:B
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+λ-[(n-1)2+(n-1)+λ]=2n,可知当n≥2时,{an}是递增数列,因此要使{an}为递增数列只需满足a2>a1,即4>2+λ⇒λ<2.故选B.
5.(2023·山东济南高三模拟)在数列{an}中,a1=5,a2=9,若数列{an+n2}是等差数列,则{an}的最大项的值为(　　)
A.9 B.11 C. D.12
答案:B
解析:令bn=an+n2,∵a1=5,a2=9,∴b2=a2+4=13,b1=a1+1=6,∴数列{an+n2}的公差为13-6=7,则an+n2=6+7(n-1)=7n-1,∴an=-n2+7n-1=-n-2+.又n∈N*,∴当n=3或4时,an取最大值-=11.故选B.
6.(多选)(2023·福建宁德高三模拟)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1,则下列说法正确的有 (　　)
A.数列为等差数列
B.a3=
C.an=
D.数列{an}的最大项的值为1
答案:BCD
解析:an-an+1=nanan+1,等式两边同除以anan+1,得=n,因此数列不是等差数列,故A错误;又=1,=2,…,=n-1,n≥2,累加可得+…+=1+2+…+n-1,即,又a1=1,所以+1,于是an=,n≥2,又a1=1也满足上式,故an=,所以a3=,故B,C正确;由于n2-n+2=n-2+,而n∈N*,所以数列{an}为递减数列,其最大项为a1=1,故D正确.故选BCD.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=4,则S4=　　　　　. 
答案:
解析:当n=1时,有2a1=4,可得a1=2.当n≥2时,由Sn+an=4可得Sn-1+an-1=4,两式作差得2an-an-1=0,所以,即数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列,因此S4=.
8.(2023·湖南师大附中高三期中)已知在数列{an}中,a1=2,a1++…+=an+1-2,则an=　　　　. 
答案:2n
解析:a1++…+=an+1-2,当n≥2时,a1++…+=an-2,则=an+1-an,即.当n=1时,a1=a2-2,得a2=4,满足上式.所以,因此数列是常数列,即=2,所以an=2n.
9.(2023·山东潍坊高三模拟)数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1,且a1=6,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　. 
答案:an=3n-·5n
解析:因为an+1=5an+3×5n+1,所以+3,即=3,所以是等差数列,而,所以+3(n-1)=3n-,所以an=3n-·5n.
综合提升组
10.已知等差数列{an},其前n项和为Sn,若a1=13,S5=45,则nSn的最大值为(　　)
A.400 B.405 C.410 D.415
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+d=5a1+10d=45,解得d=-2,所以Sn=na1+=13n-n(n-1)=14n-n2,则nSn=14n2-n3.令bn=14n2-n3,则bn+1-bn=[14(n+1)2-(n+1)3]-(14n2-n3)=-3n2+25n+13,所以当n≤8时,bn+1-bn>0,即b1b10>…,所以数列{bn}中的最大项为b9=14×92-93=405.故选B.
11.(2023·安徽蚌埠高三期中)已知数列{an}的首项a1=2,且满足an+1=an+n(n∈N*).若对于任意的正整数n,存在M使得an 答案:3
解析:由已知得an+1-an=n,∴当n=1时,a2-a1=1,当n=2时,a3-a2=2,当n=3时,a4-a3=3,……,当n=n-1时,an-an-1=n-1(n≥2),以上各式相加得an-a1=1+2+3+…+n-1==1-n-1,n≥2.又a1=2,∴an=3-n-1,n≥2,又a1=2也符合上式,故an=3-n-1.∵n-1>0,∴an<3.若对于任意的正整数n,存在M使得an 创新应用组
12.(2023·湖南长沙高三期中)数列{an}的前n项的和Sn满足Sn+1+Sn=n(n∈N*),则下列选项正确的是(　　)
A.数列{an+1+an}是常数列
B.若a1<,则{an}是递增数列
C.若a1=-1,则S2 022=1 013
D.若a1=1,则{an}的最小项的值为-1
答案:D
解析:当n=1时,S2+S1=2a1+a2=1,当n≥2时,Sn+Sn-1=n-1,则an+1+an=1,而a1+a2=1不一定成立,故{an+1+an}不一定是常数列,故A错误;由an+1+an=an+an-1=…=a3+a2=1,得an+1=an-1=an-3=…且an=an-2=an-4=…,即{an}不是单调数列,故B错误;若a1=-1,则a2=3,a3=-2,故当n≥2时,{an}的偶数项的值为3,奇数项的值为-2,而S2022=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2020+a2021)+a2022=-1+1010+3=1012,故C错误;若a1=1,则a2=-1,a3=2,故当n≥2时,{an}的偶数项的值为-1,奇数项的值为2,故{an}的最小项的值为-1,故D正确.故选D.
13.(2023·辽宁锦州高三月考)已知数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=,若对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案:(-8,-7)
解析:因为对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,且bn==1+,所以.又数列{an}的公差为1,所以数列{an}为递增数列,所以解得-8