适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第七章平面向量复数课时规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第七章平面向量复数课时规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版，共4页。试卷主要包含了故选A，线段AB是圆O等内容，欢迎下载使用。

课时规范练32
基础巩固组
1.(2023·河北正定中学高三月考)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)·b=3,则向量a,b夹角的余弦值为 (　　)
A.- B. C. D.-
答案:B
解析:设向量a,b的夹角为θ,因为(2a-3b)·b=2a·b-3|b|2=2×4×1×cosθ-3=3,所以cosθ=.故选B.
2.(2022·江苏苏州三模)已知单位向量a,b,c满足2a+3b+4c=0,则a·b=(　　)
A.- B.- C.0 D.
答案:D
解析:由2a+3b+4c=0可得2a+3b=-4c,等号两边分别平方可得4a2+12a·b+9b2=16c2,所以4+12a·b+9=16,解得a·b=.故选D.
3.(2023·山东潍坊高三月考)已知向量a=(2,2),向量e=,则向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A.(,3) B.(-,1)
C.(1,) D.
答案:A
解析:a在e上的投影向量为·e=·e=2=(,3).故选A.
4.(2023·山东烟台高三期末)如图,在△ABC中,∠BAC==2,P为CD上一点,且满足=m,m∈R.若||=3,||=4,则的值为(　　)

A.-3 B.- C. D.
答案:C
解析:因为=2,所以,所以=m=m.因为C,P,D三点共线,所以m+=1,即m=,所以.又,所以=·=|·||cos×16-×9-×4×3×.故选C.
5.(2023·河南郑州高三期末)若向量a,b互相垂直,且满足(a+b)·(2a-b)=2,则|a+b|的最小值为(　　)
A.-2 B.1 C.2 D.
答案:B
解析:由题设,a·b=0且(a+b)·(2a-b)=2a2-a·b+2a·b-b2=2a2-b2=2,∴a2=1+,而|a+b|2=a2+2a·b+b2=a2+b2=1+b2≥1,当|b|=0时,等号成立,∴|a+b|min=1.故选B.
6.(2023·广东佛山高三月考)线段AB是圆O:x2+y2=9的一条直径,直线x-2y+10=0上有一动点P,则的最小值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
答案:C
解析:因为O:x2+y2=9的圆心到直线x-2y+10=0的距离d=,所以=()·()=≥2-9=11.故选C.
7.(多选)(2023·福建泉州高三月考)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　)
A.a⊥b
B.|a+b|=2
C.|a-b|=
D.向量a,b夹角为60°
答案:AC
解析:由|b-2a|=,可得|b|2+4|a|2-4a·b=5,又|a|=|b|=1,所以1+4-4a·b=5,即a·b=0,则a⊥b,故A正确,D错误;|a+b|=,故B错误;|a-b|=,故C正确.故选AC.
8.(2021·全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　　. 
答案:
解析:由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=.
9.(2023·陕西西安高三月考)已知向量a=(cos 30°,-sin 210°),b=(-,1),则a与b夹角的余弦值为　　　　. 
答案:-
解析:由a=(cos30°,-sin210°)知a=,故a·b=×(-)+×1=-1,|a|=1,|b|=2,记a与b的夹角为θ,则cosθ==-.
10.(2021·新高考Ⅱ,15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=　　　　. 
答案:-
解析:∵a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
∴1+4+4+2(a·b+b·c+c·a)=0,
∴a·b+b·c+c·a=-.
综合提升组
11.(2023·天津武清高三月考)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2,M为AB的中点,D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF,则=(　　)

A.-2 B.-
C.-1 D.-
答案:D
解析:易得BC=,D为线段EF中点,则=2,()2=4,()2=,则[()2-()2]=.又MD=BC=,EF=AC=2,所以×4=-.故选D.
12.(2023·湖南师大附中高三月考)已知|a|=,|b|=1,且a与b的夹角为45°,若向量(2a-λb)与(λa-3b)的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是　　　　　　　　. 
答案:(1,)∪(,6)
解析:当(2a-λb)与(λa-3b)夹角为锐角时,(2a-λb)·(λa-3b)=2λa2-(6+λ2)a·b+3λb2=4λ-(6+λ2)+3λ>0,解得1<λ<6.但当λ=时,(2a-λb)与(λa-3b)共线,不合题意,舍去,故λ的取值范围为(1,)∪(,6).
创新应用组
13.(2023·福建莆田高三开学考试)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)·(a-c)=0,|b-c|=9,则|a|=(　　)
A. B.3
C.3 D.9
答案:B
解析:由已知可得a=-b-c,则(a-b)·(a-c)=(-2b-c)·(-b-2c)=(2b+c)·(b+2c)=0,即2b2+2c2+5b·c=0.因为|b-c|=9,所以b2+c2-2b·c=81.所以b2+c2=45,b·c=-18,因此,|a|2=a2=(-b-c)2=b2+c2+2b·c=9,故|a|=3.故选B.