适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练9幂函数与二次函数北师大版

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课时规范练9
基础巩固组
1.幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是 (　　)

A.a>b>c>d
B.d>b>c>a
C.d>c>b>a
D.b>c>d>a
答案:D
解析:根据幂函数的性质,在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以由图象得b>c>d>a.
2.幂函数f(x)=(m2-m-1)在x∈(0,+∞)上单调递减,则实数m=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.2
C.-1或2 D.1
答案:A
解析:∵幂函数f(x)=(m2-m-1),∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1;又当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减,∴当m=2时,m2+m-3=3,幂函数为y=x3,不满足题意;当m=-1时,m2+m-3=-3,幂函数为y=x-3,满足题意.综上,m=-1.
3.(2023·浙江余杭高级中学高三检测)函数y=的大致图象是(　　)

答案:B
解析:∵y=的定义域为R,且,∴y=为偶函数,图象关于y轴对称,可排除C,D;∵0<<1,∴由幂函数性质知y=在(0,+∞)上单调递增,但增长速度越来越慢,可排除A.故选B.
4.(2023·四川绵阳南山中学高三检测)幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为　　　　　. 

答案:1
解析:由图象可知,该幂函数在(0,+∞)单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1 5.已知函数f(x)=xα(1≤x≤2)的最大值与最小值之差为,则α=　　　　　. 
答案:log2或-1
解析:由题意,函数f(x)=xα(1≤x≤2),当α>0时,函数f(x)在[1,2]上单调递增,可得2α-1=,解得α=log2;
当α=0时,显然不成立;
当α<0时,函数f(x)在[1,2]上单调递减,可得1-2α=,解得α=-1.综上,α=log2或α=-1.
6.若函数y=x2-5x-1的定义域为[0,m],值域为-,-1,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案:,5
解析:根据题意,函数y=x2-5x-1=x-2-,函数图象的对称轴为直线x=,且有f(0)=f(5)=-1,又由函数的定义域为[0,m],值域为-,-1,则有≤m≤5,即m的取值范围是,5.
7.已知幂函数f(x)=(m2-3m-17)xm-2的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式为　　　;函数g(x)=f(2x)-4x2+3在[-1,2]上的值域是　　　　. 
答案:f(x)=x4　,243
解析:因为f(x)=(m2-3m-17)xm-2是幂函数,所以m2-3m-17=1,解得m=6或m=-3.又f(x)的图象关于y轴对称,所以m=6,故f(x)=x4.由f(x)=x4可知,g(x)=16x4-4x2+3=16(x2)2-4x2+3=16x2-2+.因为x∈[-1,2],所以x2∈[0,4],所以16x2-2+∈,243.故g(x)在[-1,2]上的值域为,243.
综合提升组
8.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值:
①恒大于0;②恒小于0;③等于0;④无法判断.
上述结论正确的是　　　　　(填序号). 
答案:①
解析:由于函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当m=2时,f(x)=x2079符合题意,当m=-1时,f(x)=x-6不符合题意,故f(x)=x2079,且函数f(x)为奇函数.所以f(x)在R上单调递增.由于a,b∈R,且a+b>0,所以a>-b,故f(a)>f(-b),所以f(a)>-f(b),所以f(a)+f(b)>0.
9.若函数f(x)=x2-2ax+1-a在[0,2]上的最小值为-1,则a=　　　　　. 
答案:1
解析:函数f(x)=x2-2ax+1-a的图象的对称轴为直线x=a,图象开口向上,①当a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)min=f(0)=1-a,由1-a=-1,得a=2,不符合a≤0;
②当0 ③当a≥2时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,则f(x)min=f(2)=4-4a+1-a=5-5a,由5-5a=-1,得a=,不符合a≥2.综上,a=1.
创新应用组
10.函数y=x,y=x2和y=的图象如图所示,下列四个说法:
①如果>a>a2,那么0 ②如果a2>a>,那么a>1;
③如果>a2>a,那么-1 ④如果a2>>a,那么a<-1.
其中正确的是(　　)

A.①④ B.①
C.①② D.①③④
答案:A
解析:当三个函数的图象依y=,y=x和y=x2
次序呈上下关系时,可得0a>a2,可得01,所以若a2>a>,可得a>1或-1>a时,可得a<-1,所以④正确.故选A.