适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练53随机事件的概率与古典概型北师大版

课时规范练53

基础巩固组

1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)

A.0.4,0.4 B.0.5,0.5 C.0.4,0.5 D.0.5,0.4

答案:C

解析:100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为=0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.

2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是(　　)

A.60% B.50% C.10% D.30%

答案:B

解析:“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,设甲不输为事件A,甲胜为事件B,甲、乙下成和棋为事件C,故P(A)=P(B)+P(C),∴P(C)=P(A)-P(B)=90%-40%=50%.

3.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种,故所求概率为,故选C.

4.(多选)(2023·江苏苏州外国语学校模拟)某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班,供学生们选择,记事件Ω1=“只选择甲兴趣班”,Ω2=“至少选择一个兴趣班”,Ω3=“至多选择一个兴趣班”,Ω4=“一个兴趣班都不选”,则(　　)

A.Ω1与Ω3是互斥事件

B.Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件

C.Ω2与Ω3不是互斥事件

D.Ω3与Ω4是互斥事件

答案:BC

解析:事件Ω2包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,选择甲乙两种兴趣班;Ω3包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,两种兴趣班都不选择.

所以Ω1与Ω3不是互斥事件,故A错误;

Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件,故B正确;

Ω2与Ω3不是互斥事件,故C正确;

Ω3与Ω4不是互斥事件,故D错误.故选BC.

5.(2022·四川攀枝花三模)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五;梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.如图,在十位档拨一颗上珠和两颗下珠,个位档拨四颗下珠,则表示数字74.若在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字小于560的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,共有=4×=24种不同情况.

表示的数字小于560包括56,65,155,506,516,551,共6种情况,所以所表示的数字小于560的概率为.

6.(2022·河北张家口三模)用0,1,2,3组成无重复数字的三位数,这个三位数是偶数的概率为　　　　. 

答案:

解析:组成无重复数字的三位数共有=18个,当0做个位时有=6个,当2做个位时有=4个,故三位数是偶数的概率等于.

综合提升组

7.(2022·广东广州三模)春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满80元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有5名顾客都领取一件礼品,则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:先考虑恰有3人领取的礼品种类相同,先从5人中选取3人有=10种,再从三类礼品中领取一件有=3,另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有2×2=4种,按照分步乘法计数原理可得10×3×4=120种,又总情况有35=243种,故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是.

8.有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是              (　　)

A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件

B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件

C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率

D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率

答案:C

解析:当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生,即A错误;当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生,即B错误;记“至少取到1个红球”为事件A,“至少取到1个蓝球”为事件B,“至多取到1个红球”为事件C,“至多取到1个蓝球”为事件D,故P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,显然P(A)>P(B),P(C)<P(D),即C正确,D错误.

9.致敬百年,读书筑梦,某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩,党史网络知识竞赛”活动,并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.规定:成绩在[80,100]内为优秀,成绩低于60分为不及格.

(1)求a的值,并用样本估算总体,能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求;

(2)若样本中成绩优秀的男生为5人,现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,求其中至少有1份是男生的概率.

解:(1)由频率分布直方图得(0.004+a+0.011+0.036+0.023+0.014+a)×10=1,解得a=0.006,成绩不及格的频率为(0.004+0.006+0.011)×10=0.21,

∴“成绩不及格”的概率估计值为21%,

∵21%>20%,

∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求.

(2)(方法1)由(1)可知样本中成绩优秀有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,其中至少有1份是男生”,则P(A)=,

∴所求概率为.

(方法2)由(1)可知样本中成绩优秀的有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份,其中至少有1份是男生”,则=“从样本的优秀答卷中随机选取3份,全是女生”,则P()=,∴P(A)=1-P()=,∴所求概率为.

创新应用组

10.(2022·湖南湘潭三模)写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61,将被乘数89计入上行,乘数61计入右行,然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5 429.类比此法画出354×472的表格,若从表内的18个数字(含相同的数字,表周边数据不算在内)中任取2个数字,则它们之和大于10的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:画出354×472的表格,如图所示,则从18个数字中任取2个,共有种不同的取法,其中6与8各2个,3与5各1个,从中任取2个,它们之和大于10的取法为(3,8),(5,6),(5,8),(6,8),(6,6),(8,8),故所求概率为.