适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第1课时利用导数证明不等式北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第1课时利用导数证明不等式北师大版，共6页。试卷主要包含了已知函数f=,a∈R，设函数f=aln x+-1，设函数f=x2+2x-kln等内容，欢迎下载使用。
解答题专项一　函数与导数中的综合问题
第1课时　利用导数证明不等式
解答题专项练
1.(2022·河北沧州二模)已知函数f(x)=,a∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:xf(x)+e-x>-a.
(1)解:函数f(x)==lnx-,
定义域为(0,+∞),f'(x)=,
(ⅰ)当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(ⅱ)当a0,当x∈(0,-a)时,f'(x)0在x>0时恒成立,
所以当x>0时,g(x)>g(0)=0.
又xlnx+1≥x,
所以xlnx+e-x≥x-1+e-x>0,
故xlnx+e-x>0,即xf(x)+e-x>-a.
2.(2022·河北保定一模)已知函数f(x)=ln x+2,g(x)=e2x-ln(a>0).
(1)设函数h(x)=f(x+1)-x-2,求h(x)的最大值;
(2)证明:f(x)≤g(x).
(1)解:因为h(x)=ln(x+1)-x(x>-1),
所以h'(x)=-1=-(x>-1).
当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)0,
所以φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.
令t(x)=2xe2x-a,则t(0)=-a0,
所以存在唯一x0∈(0,a)使得t(x0)=2x0-a=0,
即φ'(x0)=2=0,
当00.
此时φ(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
要证φ(x)≥0,即要证φ(x0)≥0.
于是原问题转化为证明不等式组

由2=0,得,
代入φ(x0)=-alnx0-2a-aln,
得φ(x0)=-alnx0-2a-aln.
对两边取对数得lnx0=ln-2x0,
代入φ(x0)=-alnx0-2a-aln,
得φ(x0)=+2ax0-2a.
因为φ(x0)=+2ax0-2a≥2-2a=0,
当且仅当x0=,a=e时,等号成立,
所以f(x)≤g(x).
3.(2022·湖南长沙一中一模)已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)在(-1,f(-1))处的切线l的方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(1)求a,b,并证明函数y=f(x)的图象总在切线l的上方(除切点外);
(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x10,
故函数F'(x)在(-2,+∞)上单调递增,又F'(-1)=0,
所以当x∈(-2,-1)时,F'(x)0时,g(x)>1;
②若数列{xn}(n∈N*)满足x1==g(xn),证明:2n(-1)0恒成立,即f(x)在R上单调递增,
当a>0时,令f'(x)=ex-a>0,解得x>lna,
令f'(x)=ex-a0时,>1⇔ex>1+x+0,F'(x)=1,由x1==g(x1)>1,即x2>0,由=g(xn),可得xn>0,
而-1=-1,又e-3=e-