适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第五章三角函数解三角形课时规范练21三角恒等变换北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第五章三角函数解三角形课时规范练21三角恒等变换北师大版，共5页。试卷主要包含了计算=，已知4csα+=cs 2α,则等内容，欢迎下载使用。
课时规范练21
基础巩固组
1.(2023·四川内江高三月考)已知cosα+=,则sin2α+=(　　)
A.- B.
C.- D.
答案:B
解析:因为cosα+=,故sin2α+=-cos+2α+=-cos2α+=-2cos2α++1=-2×2+1=,故选B.
2.(2023·陕西榆林高三期中)若sin 2θ,则sin 2θ=(　　)
A.- B. C. D.-
答案:A
解析:因为sin2θ==2(cosθ+sinθ),等式两边平方可得3sin22θ=4(1+sin2θ),即3sin22θ-4sin2θ-4=0,由cosθ-sinθ≠0,可得1-sin2θ≠0,则sin2θ≠1,所以-1≤sin2θ-,则2β∈,π,又因为α∈(0,π),tanα=->-,则α∈,π,则α+2β∈,2π,所以α+2β=,C项错误,D项正确.故选AD.
5.(2023·四川宜宾高三月考)已知tanα+=-,则cos 2α=　　　　. 
答案:-
解析:由tanα+=-=-,解得tanα=7,所以cos2α==-.
6.(2023·福建三明高三期中)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-,则cos β=　　　　. 
答案:
解析:因为α,β均为锐角,sinα=,所以cosα=,α-β∈-,又tan(α-β)=-,所以α-β∈-,0,所以sin(α-β)=-,cos(α-β)=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×-=.
7.(2023·四川成都高三期末)4sin 10°+tan 10°=　　　　. 
答案:1
解析:4sin10°+tan10°=
=
=
=
=
=
=
=2cos60°
=1.

综合提升组
8.(2023·江苏南通高三模拟)已知α,β∈(0,π),cos α=-,若sin(2α+β)=sin β,则α+β= (　　)
A. B. C. D.
答案:A
解析:由题意可知,sin(2α+β)=sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=sin[(α+β)-α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β),则cosαsin(α+β)+3sinαcos(α+β)=0.因为α,β∈(0,π),且cosα=-,所以sinα=,且α∈,π,则-sin(α+β)+3×cos(α+β)=0,所以sin(α+β)=cos(α+β),当cos(α+β)=0时不满足题意,所以tan(α+β)=1,因为α∈,π,β∈(0,π),所以α+β∈,2π,所以α+β=,故选A.
9.(多选)(2023·天津一中高三月考)已知4cosα+=cos 2α,则(　　)
A.sin α+cos α= B.α=kπ+(k∈Z)
C.tan 4α=0 D.tan α=1
答案:BCD
解析:由已知得4cosαcos-sinαsin=cos2α-sin2α,所以2(cosα-sinα)=cos2α-sin2α,因此(cosα+sinα-2)(cosα-sinα)=0,所以cosα+sinα-2=0或cosα-sinα=0,即sinα+=2或sinα=cosα,而sinα+≠2,所以tanα=1,因此α=kπ+(k∈Z),4α=4kπ+π(k∈Z),tan4α=tan(4kπ+π)=tanπ=0.故选BCD.
10.(2023·河南南阳高三期中)已知sin-α=-,sin+β=,且α∈,β∈0,,则α-β的值为　　　　. 
答案:
解析:由于α∈,β∈0,,所以α-β∈0,,又α-β=π--α++β,所以sin(α-β)=sinπ--α++β=sin-α++β.不妨记x=-α,y=+β,所以sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx,又x∈-,0,sinx=-,于是cosx=,又y∈,π,siny=,则cosy=-,因此sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx=,因为α-β∈0,,所以α-β=.
11.(2023·浙江杭州高三期中)已知函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x).
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)若f(x0)=,x0∈0,,求cos 2x0的值.
解:(1)f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=-2sinxcosx+cos2x-sin2x=-sin2x+cos2x=2sin2x+,
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为.
(2)因为f(x0)=,
所以2sin2x0+=,
又x0∈0,,且sin2x0+>0,
所以2x0+∈,π,
则cos2x0+=-.
所以cos2x0=cos2x0+-=cos2x0+cos+sin2x0+sin=-×-+.
创新应用组
12.(2023·江苏扬州高三月考)函数f(x)=cos x(3-4cos2x)的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
答案:A
解析:f(x)=cosx(2-2cos2x-2cos2x+1)=cosx(2sin2x-cos2x)=sinxsin2x-cos2xcosx=-cos3x,所以函数的最小正周期为T=,故选A.