1.3 探索三角形全等的条件-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第1章 全等三角形
1.3探索三角形全等的条件
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课程标准
课标解读
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
3．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
知识精讲

知识点01 全等形的判定
1.全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
【微点拨】
如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
【即学即练1】1．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【即学即练2】2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一条直角边和斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一个锐角和一条斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A. 可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；
B. 可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C. 可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
D. 两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
故选：D．
2. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
【微点拨】
如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
4.全等三角形判定3——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
【微点拨】
如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
5.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
【微点拨】
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点02 判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
【即学即练3】3．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
【详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
cm，
cm．
故选：C．
【即学即练4】4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（　　）


A．2 B．4 C．2 D．
【答案】A
【分析】
根据条件可以得出∠EBC=∠DCA，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【详解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中， ，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2．
故选：A．
能力拓展

考法01 判断方法的选择
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典例1】如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上，可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
考法02 判断直角三角形全等的特殊方法---斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”
【典例2】如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；
【详解】
A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；
D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：C．
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，，，添加下列条件不能判定的是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定定理可解.
【详解】
A选项：根据ASA可以判定，故A错误；
B选项：根据SSA不能判定，故B正确；
C选项：根据SAS可以判定，故C错误；
D选项：根据，可推，所以根据SAS可以判定，故D错误．
故答案选：B．
2．如图，在和中，已知，，则能说明的依据是（ ）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】C
【分析】
由题意，结合AB=AB，即可由SSS判定
【详解】
解：在△ABC和△ABD中，
∵，
又∵AB=AB
∴（SSS）
故选：C
3．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可．
【详解】
A．BC边和EF边是对应边，所以所给条件证明不出．故A不符合题意．
B．边AB与BC都在中，边DE与EF都在中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出，故B不符合题意．
C．AB边和DE边是对应边，所以所给条件证明不出，故C不符合题意．
D．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS证明，故D符合题意．
故选：D．
4． 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．
【详解】
解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．
故选：C．
5．如图，，，，，证明的理由是（ ）．

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】
根据SAS可证明两个三角形全等．
【详解】
因为，，
所以，
所以在与中，
，
所以（SAS），
故选B．
6．下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，则是直角三角形
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．所有正方形都是全等图形
D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
【答案】A
【分析】
直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 若，设∠A=a，则∠B=2a, ∠C=3a．
∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴a+2a+3a=180°∴a=30°，3a=90°，∴是直角三角形，说法正确；
B. 各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故说法错误；
C. 所有正方形不是全等图形，说法错误；
D. 如果两个三角形有两边和两边的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，故说法错误．
故答案为：A．
7．下列条件中，能利用“”判定△≌△A′B′C′的是 （ ）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B．AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′
C．AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C′
D． AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C′
【答案】C
【分析】
依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可．
【详解】
解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误；
B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误；
C、AC=A'C'，∠C=∠C'，BC=B'C'，符合ASA，故C正确；
D、边边角不能证明两个三角形全等，故D错误．
故选：C．
题组B 能力提升练
1．在和中，条件：①；②；③；④；⑤；⑥；则下列各组给出的条件不能保证的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②⑤⑥ D．①③⑤
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法 对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、①②③可以利用“SSS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
B、①②⑤可以利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
C、②⑤⑥可以利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
D、①③⑤符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项符合．
故选：D．

2．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三条边所对的角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．以上答案都不正确
【答案】A
【分析】
如图，在和中，，分别是两个三角形的中线，，，，则．根据证明即可．
【详解】
解：如图，在和中，，分别是两个三角形的中线，，，，则．

理由：在和中，，分别是两个三角形的中线，
，，
，
，
，，
∴（SSS），
，
这两个三角形的第三条边所对的角的关系是相等，
故选A．
3．以下命题是假命题的是（　　）
A．两个全等三角形的三条边对应相等 B．三条边对应相等的两个三角形全等
C．两个全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】
根据假命题的定义，再根据全等三角形的判定方法及性质逐个选项进行判断即可得出结果．
【详解】
A、两个全等三角形的三条边对应相等，是真命题，不符合题意；
B、三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
C、两个全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
D、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意．
故选：D．
4．下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】B
【分析】
根据三角形全等判定的条件逐一判断即可．
【详解】
解：A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等（AAS或ASA），故正确；
B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，可能为（SSA）或者（SAS），其中只有（SAS）能够作为三角形全等的判定条件，故错误；
C、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等：对应两边与中线所构成的三角形全等（SSS），可证得对应两边的夹角相等，再根据（SAS）可证得两个三角形全等，故正确；
D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（SAS），故正确；
故选：B．
5．如图，中，，，D为延长线上一点，，且，与的延长线交于点P，若，则__________．

【答案】
【分析】
作于，根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．
【详解】
解：作于，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
，，
，，
设，，，
，
，
故答案为：．

6．如图，在四边形中，于，则的长为__________

【答案】
【分析】
过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
【详解】
解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，


，


∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．

7．如图，AC=BC，∠ACD=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．其中正确的结论有________．

【答案】①、④、⑤
【分析】
利用ASA证明△ADC≌△BFC判断①正确；由AF>AD，推出BFAF判断②错误；利用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB≌△AEF，得到AB=AF，BE=FE，即可判断③错误；根据△ADC≌△BFC推出CF=CD，由AF=CF+AC判断④正确；由AD=BF，BF=2BE，判断⑤正确.
【详解】
∵BF⊥AE，
∴∠AEF=∠BCF=∠ACD=90°,
∴∠F+∠FAE=90°，∠F+∠FBC=90°，
∴∠FAE=∠FBC，
又∵AC=BC，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①正确；
∵AF>AD，
∴BFAF，故②错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEF，
∴AB=AF，BE=FE，
∵BFAF，
∴BFAB，故③错误；
∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，
∵AF=CF+AC，
∴AB=CD+AC，故④正确；
∵AD=BF，BF=2BE，
∴AD=2BE，故⑤正确；
故答案为：①、④、⑤.
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤．
【详解】
延长DA、BC使它们相较于点F

∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC
∴∠B=∠D
又∵∠F=∠F，AB=CD
∴△FAB≌△FCD
∴AF=FC，FD=FB
∴AD=BC
∴△ADE≌△CBE，即①正确；
同理即可证明②正确；
∵AE=CE，AB=CD
∴DE=BE
又∵∠AED=∠BEC
∴△ADE≌△CBE，③正确；
同理即可证明④正确；
连接BD，

∵AD=CB，AB=CD，BD=BD
∴△ADB≌△CBD
∴∠DAB=∠BCD
∴△ADE≌△CBE，⑤正确；
故选D．
2．如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
过点作于点，于点，根据的平分线上有一点，得，，从而得，，；当，在射线，上时，通过证明，得；当，在直线，射线上时，通过，得；当，在直线、上时，得，即可完成求解．
【详解】
过点作于点，于点

∵平分
又∵
∴，，
∴
∴，，
①当，在射线，上时

∴
∵，
∴
∴，
∴．
②如图，当，在直线，射线上时



∴；
③如图，当，在直线、上时


∴
综上：②③④错误；
故选：A．
3．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AFB=60°；③BF=AH；④△ECF≌△DCG；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件，①△ACD≌△BCE；由∠ACB=60°，可得∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误；由△ACD≌△BCE可得出∠CBF=∠CAH，以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是，不能证明△BCF≌△ACH；在△BCF和△DCG中
∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,说明④错误；作CJ⊥BE,CK⊥AD，由△BCE≌△ACD，可得∠BGC=∠DGC.
【详解】
解：∵ △ABC与△CDE都是等边三角形
∴∠BCA=∠DCE=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD
∴△ACD≌△BCE（SAS），①正确；
∵∠ACB=60°，
∴∠AFB=∠ACB+∠FBC＞60°，可知②错误；
∵△ACD≌△BCE
∴∠CBF=∠CAH；
在△BCF和△ACH中
∠CBF=∠CAH，BC=AC，缺少其他条件
故③错误；
∵△ACD≌△BCE
∴∠CEG=∠CDG；
在△BCF和△DCG中
∴∠CEG=∠CDG，缺少其他条件,故④错误；
作CJ⊥BE,CK⊥AD，
∵△BCE≌△ACD，
∴CJ=CK，
∴GC平分∠BGD，
∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确；
故选B.
4．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）

A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
【答案】C
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
5．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】
①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60∘，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD−AP=BE−BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
则DP≠DE，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，
故选D．
6．如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，根据三角形内角和是180°和∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O），得到∠BDC＝∠BAC；根据三角形内角和是180°易得∠DAE＝∠CBD，再根据角平分线可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【详解】
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE＝DF
在Rt△CDE和Rt△BDF中

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF
在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF
∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF
∴∠DBF＝∠DCE
∵∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O）
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°
∠DBF＝∠DCE
∴∠DAE＝∠CBD，
∵∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④.
故选D
7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【分析】
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，④正确．
故选：C．