2.2 轴对称的性质-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 轴对称图形
2.2 轴对称的性质
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课程标准
课标解读
1. 知道线段垂直平分的概念，，知道“成轴对称的两个图形全等”，对称轴是对称点连线的垂直平分线等性质
2. 会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形
1. 探索轴对称的性质
2. 准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用这个基本性质解决一些实际问题
知识精讲

知识点01 轴对称的性质
轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.
【微点拨】1.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
2.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．
类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．
【即学即练1】1．下列图形中对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形
【答案】B
【分析】
根据对称轴的定义分别得出各选项中对称轴的条数，比较选出正确答案．
【详解】
解：A. 等边三角形，有3条对称轴；
B. 正方形，有4条对称轴；
C. 等腰三角形，有1条对称轴；
D. 等腰梯形，有1条对称轴．
故选：B．
【即学即练2】2．在平面直角坐标系中，若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m，n的值分别是（　　）
A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．﹣3，﹣2 D．3，2
【答案】A
【分析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点即可求m，n的值．
【详解】
解：∵点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2．
故选：A
知识点02 线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
【即学即练3】3．在平面直角坐标系中，过点A（2，0）作x轴的垂线MN，则点P（4，3）关于直线MN的对称点P′的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（0，3）
【答案】D
【分析】
由于点P关于直线MN的对称点P′的纵坐标与点P的纵坐标相等，点P和点P′到直线MN的距离相等，从而求得点P′的坐标．
【详解】
解：∵点P和点P′关于直线MN的对称，
∴点P′的纵坐标为3，
∴点P和点P′到直线MN的距离相等，
∴点P′的坐标为（0，3）．
故选：D．
【即学即练4】4．已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A．轴 B．轴
C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线
【答案】C
【分析】
由题意PQ∥x轴，所以过PQ中点且垂直于x轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断．
【详解】
解：∵点，点
∴PQ∥x轴，
设PQ的中点为M
则M点坐标为，即
∴点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称
故选项A，B，D错误；
又∵在这条直线上，
∴选项C符合题意
故选：C．
能力拓展

考法01 判断轴对称图形
轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
轴对称、对称轴、对称点：
平面内两个如果把-一个图 形沿着某一条直线折叠后， 能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。折叠重合的两点叫对应点也叫对称点。

【典例1】下列科学防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一判断即可求解．
【详解】
A选项不是轴对称图形，不符合题意；
B选项不是轴对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，符合题意；
故选D．
分层提分

题组A 基础过关练
1．若点A (x，5)与点B(2，y)关于y轴对称，则x+y的值是（ ）
A．-7  B．-3  C．3 D．7
【答案】C
【分析】
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出x，y的值，即可求出x+y的值．
【详解】
解：∵ 点A (x，5)与点B(2，y)关于y轴对称，
∴x=-2，y=5，
∴x+y=-2+5=3．
故选：C．
2．若点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：∵点A的坐标为（-3，4），
∴点A关于y轴的对称点的坐标是（3，4），
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【分析】
直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案．
【详解】
解：因为点A的坐标是（﹣2，﹣1），
所以点A关于x轴对称的点B坐标为（﹣2，1），
故选：A．
4．点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　　）
A．（－1，2） B．（1，－2） C．（2，－1） D．（－1，－2）
【答案】A
【分析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【详解】
解：点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（-1，2），
故选：A．
5．已知点，两点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，从而确定C点坐标．
【详解】
解：∵点，两点关于轴对称，
∴a=3；b=-2
∴点的坐标是
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】
点关于y轴的对称点的坐标为．
故答案为：A．
7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：点关于轴对称点的坐标是
故选D．
题组B 能力提升练
1．点（﹣3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）
【答案】B
【分析】
关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】
解：点（﹣3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣3，2）．
故选：B．
2．已知点和关于y轴对称，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面直角坐标系中点的对称的知识点可得到m、n的值，代入求值即可．
【详解】
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故选择：C．
3．已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段沿坐标轴翻折180°后，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据点A，点A'坐标可得点A，点A'关于y轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB沿坐标轴翻折后，点A（1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3），
∴线段AB沿y轴翻折，
∴点B关于y轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C．
4．点关于轴的对称点的坐标为(        )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此解答.
【详解】
解：关于轴、轴对称的点的坐标特点可得，点关于轴的对称点的坐标为.
故选：B.
5．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为______．

【答案】3
【分析】
根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】
解：和是的轴对称图形，
，，，
，故①正确；
，
由翻折的性质得，，
又，
，故②正确；
，
，，
边上的高与边上的高相等，
即点到两边的距离相等，
平分，故③正确；
只有当时，，才有，故④错误；
在和中，，，，，
，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：3．
6．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为__________．

【答案】或1．
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时；②当点B′落在AD边上时；分别求出BE的长度，即可得到答案.
【详解】
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，

在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，
∴AC=，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=，
设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+（）2=（2-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，

∴BE=AB=1．
故答案为：或1．
7．已知，如图，点是长方形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点，若，那么__________．

【答案】
【分析】
根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠B=C=∠D=90°，
∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，
∴AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，
∴BF=，
∴CF=4，
∵EF=DE=8-CE，
∴（8-CE）2=42+CE2，
∴CE=3，
∴EF=5，
∴AE=，
故答案为：.
27．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕到的距离记为，若，则的值为______．

【答案】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律：同理…于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC的距离，据此求得的值．
【详解】
解：如图连接AA ₁,由折叠的性质可得：AA ₁⊥DE, DA= DA₁ ,A₂、A₃…均在AA ₁上
又∵ D是AB中点，∴DA= DB ,


∵DB= DA ₁ ,
∴∠BA ₁D=∠B ,
∴∠ADA ₁=∠B +∠BA ₁D=2∠B,
又∵∠ADA ₁ =2∠ADE ,
∴∠ADE=∠B
∵DE//BC,
∴AA₁⊥BC ,
∵h₁=1
∴AA₁ =2,
∴
同理：；
；
…
∴经过n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离
∴
题组C 培优拔尖练
1．如图，在中，，平分，交于点．若，，则的值可能是（ ）

A．7 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，根据三角形三边关系可确定的取值范围，然后判断即可．
【详解】
解：将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，
由翻折可知，，
∵，，
∴BD=5，DE=2，
3＜BE＜7，
四个选项中，只有满足条件，
故选：B．

2．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】
根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【详解】
解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．

3．如图，直线EF分别交平行四边形ABCD边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）

A．4+ B．8 C．6+ D．4
【答案】D
【分析】
连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．因为A、A′关于直线EF对称，推出P′A′=P′A，推出P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，推出当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长；
【详解】
如图，连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．

∵A、A′关于直线EF对称，
∴P′A′=P′A，
∴P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，
∴当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长．
在Rt△BCH中，∵BC=4，∠CBH=60°，
∴BH=2，CH=2，
∴AH=AB+BH=10，
在Rt△ACH中，AC=．
∴PC+PA′的最小值为，
故选：D．
4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣） C．（﹣，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】
先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】
解：∵A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
5．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有 一动点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )

A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】

作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连=接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.
故选B.
6．下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形一定成轴对称
B．成轴对称的两个图形一定全等
C．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
D．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
【答案】B
【解析】
根据轴对称的概念，全等的两个图形不一定对称，故A不正确；
根据成轴对称的两个图形能够完全重合，故一定全等，因此B正确；
根据成轴对称的概念，可知两个图形关于某直线对称，对称点不一定在直线的两旁，有可能在这条直线上，故C不正确；
根据轴对称的性质，可知对称点在对称轴的两边，故D不正确.
故选B.
7．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）

A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】
作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.
【详解】
解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与0A的交点即为点M，与OB的交点即为点N，

△MNP的最小周长为P．
M＋MN＋PN=P1M＋MN＋P2N= P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=0P2=6，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60。，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=6，
即△MNP的周长的最小值是6．
故选：B．