3.1 勾股定理 -八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第3章 勾股定理
3.1 勾股定理
目标导航

课程标准
课标解读
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，
会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
知识精讲

知识点01 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
【微点拨】
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
【即学即练1】1．RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D为斜边AB的中点，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10，
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=5cm，
故选：D．
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

　　　　 ，所以．
【即学即练2】
知识点03 勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.与勾股定理有关的面积计算；
4.勾股定理在实际生活中的应用．
【即学即练3】3．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，中点为，一只蚂蚁从盒外的点沿正方体的表面爬到盒内的点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A． B． C．1 D．2＋5
【答案】B
【分析】
一蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图所示的BM的长，利用勾股定理能求出结果．
【详解】
解：∵一只蚂蚁从盒外的A点沿正方形的表面爬到盒内的M点，
∴蚂蚁爬行的最短距离是如图所示的的长，
∵无盖的正方体盒子的棱长为2，AB的中点为M，
∴=2+2=4，AM=1，
∴
∴蚂蚁爬行的最短距离是
故选：B．

【即学即练4】4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）

A． B．0.8 C． D．
【答案】C
【分析】
连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
【详解】
解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：C．

能力拓展

考法01 用勾股定理解三角形
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【典例1】如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（ ）

A．2.5 B．3 C．2 D．3.5
【答案】C
【分析】
首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．
【详解】
解：∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD=AC，
∴AD=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2．
故选C．
分层提分

题组A 基础过关练
1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．13
【答案】D
【分析】
根据勾股定理，计算出斜边长为13．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边长＝，
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，点P (3，4)到原点的距离是（ ）
A．3  B．4  C．5 D．7
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求解即可
【详解】
解：∵ P (3，4) ，
∴点P到原点的距离=
故选：C．
3．下列各组数中满足勾股定理的是（ ）．
A．12，8，5 B．30，40，50
C．9，13，15 D．8，10，12
【答案】B
【分析】
若三边满足则符合勾股定理，逐一对选项进行判断即可．
【详解】
A中，，所以不符合勾股定理，故错误；
B中，，所以符合勾股定理，故正确；
C中，，所以不符合勾股定理，故错误；
D中，，所以不符合勾股定理，故错误；
故选：B．
4．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（　　　）
A．20 B．40 C．80 D．100
【答案】A
【分析】
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
【详解】
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长==20，
故选：A．
5．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．，，
【答案】C
【分析】
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【详解】
解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；
B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；
C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；
D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意；
故选：C．
6．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，， B．0.6，0.8，1 C．3，4，5 D．5，11，12
【答案】C
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、，不是整数，故A错误；
B、0.6，0.8，不是整数，故B错误；
C、3，4，5是整数，且，故C正确；
D、5，11，12是整数，但，故D错误；
故选：C．
7．下列各组数，不是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数，分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、，则本项是勾股数；
B、，则本项是勾股数；
C、本项的数不是整数，则不是勾股数；
D、，则本项是勾股数；
故选：C．
题组B 能力提升练
1．若等边三角形ABC的边长为10，那么它的面积为（　　）
A．25 B．25 C． D．
【答案】A
【分析】
作AD⊥BC于点D，先求出三角形的高，即可求解结果．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于点D，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AD平分∠BAC．
∴∠CAD=∠BAC=30°．
∴CD＝AC＝5，
∴AD＝
∴S△ABC＝BC•AD＝25．
故选：A．
2．下列四组数据，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41
【答案】B
【分析】
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】
解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；
B、因为52+62≠72，不属于勾股数；
C、因为62+82＝102，属于勾股数；
D、因为92+402＝412，属于勾股数；
故选：B．
3．在直角三角形ABC中，斜边AB=5，求AB2+BC2+AC2=（ ）
A．50 B．25 C．10 D．5
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求解．
【详解】
解：根据题意由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2=25，
∴AB2+BC2+AC2=25+25=50，
故选A ．
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a＝b C．c2＝2a2 D．a2＝b2﹣c2
【答案】D
【分析】
由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答 ．
【详解】
解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故本选项正确，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，故本选项正确，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故本选项正确，不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2，故本选项不正确，符合题意；
故选D．
5．如图，在中，，，为中点，是射线上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，点在运动过程中的最小值为_______．

【答案】
【分析】
连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，则是等腰直角三角形．推出，根据全等三角形的性质得到，证得是等腰直角三角，求出，，，由，于是得到当时，的值最小．
【详解】
解：连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，则是等腰直角三角形．
在与中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值最小，
∴.
故答案为：．

6．如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________．

【答案】
【分析】
作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解．
【详解】
解：作FM⊥BC，EN⊥BC．
∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段
∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90°
又∵FM⊥BC，EN⊥BC
∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90°
∴∠EDN=∠DFM
∴△EDN≌△DFM
由题意可得：∠B=60°，BD=
∴在Rt△BFM中，∠BFM=30°
如图，①当点F在线段AB上时，
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD+DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，CE无最小值，
如图，②当点F在AB的延长线上时
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD-DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，当x=时，CE2有最小值为
∴CE的最小值为
故答案为：

7．如图，在中，，M是的中点，点D在上，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；正确的有_____．（只填序号）

【答案】①②③④⑤
【分析】
证明，得到，可判断①；再证明，从而判断为等腰直角三角形，得到，可判断③，同时得到，可判断②；再证明，得到为等腰直角三角形，得到，，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出，再证明，得到，则有，从而判断⑤．
【详解】
解：，
，
，
，
又，，
，
，故①正确；
由全等可得：，，
，
连接，，
点是中点，
，，
在和中，，，
，
又，，
，
，，
，
，即为等腰直角三角形，
，故③正确，，
，
，故②正确，
设与交于点，连接，
，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，而，
，故④正确；
，，
，
平分，
，，
，
，即，
，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．

题组C 培优拔尖练
1．如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心、AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心、AB1长为半径画弧交x轴于点A2按此做法进行下去，则点A2020的坐标是( )

A．(22020，0) B．(21010，0) C．(21010+1，0) D．(21010-1，0)
【答案】D
【分析】
根据题意，利用勾股定理求出AA1，AA2，AA3，找到规律进行解答即可.
【详解】
解：∵当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；
∴A（-1，0），B（0，1），
∴




∴
则A2020的横坐标为：
∴A2020的坐标为（，0）
故选D
2．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．

A．4 B．6 C．2 D．2
【答案】A
【分析】
过点E作于F，设，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2，，继而得到AG=4，；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到中即可.
【详解】
解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作于F，

易得是等腰直角三角形，
∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，,
∴EF=EC,,
∴
设
则，，
∵AD⊥BE,
∴,
∵在△ABD和△GBD中，

∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2,
∴AG=4,
∵在直角△ACG中，ACG=90°，，AG=4，，
∴
∴
∴=4.
故选：A.
3．在中，边上的中线，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得 ，最后根据求解即可.
【详解】
解：如图，在中，边上的中线，
∵CD=3，AB= 6，
∴CD=3，AB= 6，
∴CD= AD= DB ，
， ，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B.

4．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【答案】C
【分析】
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部
【详解】
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形

∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形

在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
5．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（　　）
A．10 B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】
根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝2，BE＝5，求AB的长．
设AC＝x，BC＝y，
根据勾股定理得：
在Rt△ACD中，x2+（y）2＝（2）2，
在Rt△BCE中，（x）2+y2＝52，
解之得，x＝6，y＝4，
∴在Rt△ABC中， ，
故选：D．

6．如图，在中，，的平分线与边相交于点，，垂足为，若的周长为6，则的面积为（ ）.

A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】D
【分析】
利用角平分定理得到DE=AD，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC，根据的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出，即可求得的面积.
【详解】
∵，
∴AB⊥AD,
∵,平分,
∴DE=AD，∠BED=，
∴∠BDE=∠BDA，
∴BE=AB=AC，
∵的周长为6，
∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，
∵
∴,
∴,
,
∴的面积=,
故选：D.
7．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是
A．126 cm2 或66 cm2 B．66 cm2 C．120 cm2 D．126cm2
【答案】A
【分析】
此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．
【详解】
当∠B为锐角时（如图1），

在Rt△ABD中， cm，
在Rt△ADC中， cm，
∴BC=21，
∴S△ABC= BC•AD=×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），

在Rt△ABD中， cm，
在Rt△ADC中， cm，
∴BC=CD-BD=16-5=11cm，
∴S△ABC=BC•AD=×11×12=66cm2；
故答案为：126或66．