3.3 勾股定理的简单应用-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第3章 勾股定理
3.3 勾股定理的简单应用
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课程标准
课标解读
1. 理解勾股数的含义；
2. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
1.会用勾股定理进行简单的运算
2.通过探究，会用勾股定理解释生活中的实际问题
知识精讲

知识点01 勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【微点拨】勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
【即学即练1】1．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先设水深为尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】
解：设水深为尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,
，
故选：A．
【即学即练2】2．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
【答案】A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
【详解】
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，

∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
知识点02 勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
【微点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
【即学即练3】3．已知的三边长分别为9，40，41，则的面积为（ ）
A．171 B．180 C．820 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再求面积．
【详解】
解：∵△ABC的三边分别为9，40，41，
且92+402=81+1600=1681=412，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是9，40，
∴△ABC的面积为：，
故选：B．
【即学即练4】4．已知三角形三边长分别为12，13，5，则这个三角形的面积为（ ）
A．78 B．65 C．60 D．30
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
【详解】
解：∵52＋122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12＝30．
故选：D．
知识点03 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。
【微点拨】勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）；
【即学即练5】5．下列数组是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．8，12，15
【答案】C
【分析】
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解： 故不符合题意；
0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故选：
能力拓展

考法01 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
【典例1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理列方程解答．
【详解】
解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
故选：D．
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（　　　）

A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
【答案】B
【分析】
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
【详解】

解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10 cm．
故选：B．
2．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度，即为圆的半径．以对角线长度为半径作圆与数轴交于点，则点表示的数即为1加上对角线的长度．
【详解】
解：根据勾股定理，求得正方形的对角线的长度为为：，再以为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为：．
故选：．
3．一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A．20厘米 B．18厘米 C．22厘米 D．24厘米
【答案】A
【分析】
利用勾股定理进行计算即可．
【详解】
解：这根木棒最长为：厘米，
故选：A．
4．如图，一棵大树在离地面9米高的处断裂，树顶落在距离树底部12米的处（米），则大树断裂之前的高度为（ ）

A．9米 B．10米 C．21米 D．24米
【答案】D
【分析】
根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
由题意可得:,
AB+BC=15+9=24．
故选D．
5．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5后，两轮船相距（ ）
A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里
【答案】D
【分析】
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】
∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了18×1.5＝27，24×1.5＝36海里，
根据勾股定理得：＝45（海里）．
故选：D．

6．将一根长为 25cm 的筷子置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外的长为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）
A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤12
【答案】A
【分析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25−12＝13cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，AB＝cm，
故a＝25−13＝12cm．
所以a的取值范围是：12cm≤a≤13cm．
故选A.

7．一架长25m的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7m,如果梯子的顶端沿墙下滑了4m,那么梯足将滑动（ ）
A．5m B．8m C．13m D．15m
【答案】B
【分析】
首先画图示意图，根据直角三角形的勾股定理的性质得到边与边之间的关系，从而得到梯足滑动的距离.
【详解】

如图所示：
依题意得AB=DE=25，BC=7，AD=4，AC⊥EC，求EB的长度.
在直角三角形ABC中，有
则
在直角三角形DEC中，DC=AC-AD=24-4=20
有，则
即
则EB=EC-BC=15-7=8
故选B.
题组B 能力提升练
1．设、、是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：（1）是等腰三角形；（2）是等边三角形；（3）是锐角三角形；（4）是直角三角形．其中正确的说法的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
由可知显然时是成立的，故可判断（2），由（2）可判断（1）（3），预设任意成勾股数的三个数代入则可判断（4）．
【详解】
解：由，当等式左右两边必然相等，由此可得三角形可以是等边三角形，故（2）正确；
等边三角形必然是锐角三角形，故（3）正确；
等边三角形必然是等腰三角形，故（1）正确；
设 代入有， 故（4）错误；
所以（1）（2）（3）正确．
故选B．
2．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（　　）
A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m
【答案】A
【分析】
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2，
∴1.52+x2＝（x+0.5）2，
解得：x＝2．
故选：A．

3．一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】
如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC=6米，所以得到AB=12米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
【详解】
解：如图，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=6米，
∴AB=12米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=18米，
故选B．

4．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】C
【分析】
筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
【详解】
当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故选：C
5．将一根18cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是____________；
【答案】5cm
【分析】
长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可.
【详解】
如图，由题意知：盒子底面对角线长为=5（cm），
盒子的对角线长：=13cm，
∵细木棒长18cm，
∴细木棒露在盒外面的最短长度是：18-13=5cm，
所以细木棒露在外面的最短长度是5厘米．
故答案为：5cm.

6．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．

【答案】4
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．

题组C 培优拔尖练
1．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【答案】B
【分析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】
设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，
故选：B．

2．在ΔABC中,,则∠A( )
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．非上述答案
【答案】A
【详解】
【分析】根据以及三角形三边关系可得2bc＞a 2 ，再根据（b-c） 2 ≥0，可推导得出b 2 +c 2 ＞a 2 ，据此进行判断即可得.
【详解】∵ ，
∴，
∴2bc=a（b+c），
∵a、b、c是三角形的三条边，
∴b+c＞a，
∴2bc＞a·a，
即2bc＞a 2 ，
∵（b-c） 2 ≥0，
∴b 2 +c 2 -2bc≥0，
b 2 +c 2 ≥2bc，
∴b 2 +c 2 ＞a 2 ，
∴一定为锐角，
故选A．
3．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点, 则的最大值是（ ）

A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】
试题解析：作点关于直线的对称点,连接并延长,与直线的交点即为使得取最大值时对应的点

此时
过点作于点如图,

四边形为矩形，



的最大值为：
故答案为：
4．如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（   ）

A．6cm2 B．30cm2 C．24cm2 D．36cm2
【答案】C
【详解】
连接AC，AB=4cm，BC=3cm,AC=5cm.
CD=12cm，DA=13cm,,∠DCA=90°.
= cm2.选C.

5．如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）

A．18 B．48 C．120 D．72
【答案】D
【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，

点，的最短距离为线段的长.
∵已知圆柱的底面直径，
∴，
在中， ，，
∴，
∴从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为.
故选D.
6．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）

A．(3+213)cm B．97cm C．85cm D．9cm
【答案】C
【解析】
【分析】
本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．
【详解】
解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长=102+32=109cm；

如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长=92+42=97cm；

如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长=72+62=85cm.

所以要爬行的最短路径的长85cm.
故选C.
7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（　　）

A．49 B．25 C．12 D．10
【答案】C
【详解】
试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，


∴c2=25，
∴a2+b2=c2=25，
∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面积是ab=6，
∴ab=12．
故选C.