5.2 平面直角坐标系-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第5章 平面直角坐标系
5.2 平面直角坐标系
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课程标准
课标解读
1. 理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念
2. 认识并能画出平面直角坐标系
3. 能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标
1. 理解平面直角坐标系的有关知识
2. 由点的坐标观察，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上的点有什么特点
3. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.
知识精讲

知识点01 平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点(如图1).

【微点拨】
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.

【微点拨】
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
【即学即练1】1．在平面直角坐标系中，第一象限的点是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，3） C．（0，0） D．（2，﹣1）
【答案】B
【分析】
点在第一象限的条件是：横、纵坐标都是正数，直接得出答案即可．
【详解】
解：A、（﹣1，2）在第二象限，故本选项不合题意；
B、（1，3）在第一象限，故本选项符合题意；
C、（0，0）在原点，故本选项不合题意；
D、（2，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意．
故选B．
知识点02 坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
【微点拨】
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
【即学即练2】2．如图是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：实验楼的位置可表示成（2，−3）．


故选：B．
知识点03 点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律

2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【微点拨】
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
【即学即练3】3．下列说法正确的是（ ）
A．若点，则点A到x轴的距离为3 B．平行于y轴的直线上所有点的纵坐标都相同
C．与表示两个不同的点 D．若点在x轴上，则
【答案】C
【分析】
根据平面直角坐标系内点的坐标特点分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、若点，则点A到y轴的距离为3；故此选项说法错误，不符合题意；
B、平行于y轴的直线上所有点的横坐标都相同；故此选项说法错误，不符合题意；
C、与表示两个不同的点；故此选项说法正确，符合题意；
D、若点在x轴上，则；故此选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
知识点04 用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
【微点拨】
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
【微点拨】
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【即学即练4】4．如图，正方形ABCD的顶点A(1，1)，B(3， 1)，规定把正方形ABCD“先沿x轴进行翻折， 再向左平称1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）

A．(-2018，3) B．(-2018，-3) C．(-2019，3) D．(-2019， -3)
【答案】B
【分析】
依题意，利用正方形的性质，可得点C的坐标；一次变换即点C的横坐标向左移一个单位；又翻折次数为奇数时点C的纵坐标为：-3，翻折次数为偶数时点C的纵坐标为：3；即可；
【详解】
由题知，∵、，又ABCD为正方形；∴点；
又规定沿轴翻折一次，然后向左平移一个单位即为一次变换；
通过观察可得：翻折数为奇数时C的纵坐标为：-3，翻折数为偶数时C的纵坐标为：3；
又为奇数，∴点C的纵坐标为：；
翻折一次向左平移一个单位，翻折2021次即为：；
∴点；
故选：B
能力拓展

考法01 判断点所在的象限
一、平面直角坐标系把一个平面分成四个象限，分别称为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。但每个象限内点的坐标的正负符号特征有所不同。在平面直角坐标系中要判断一个点所在的象限，通常只需要判断点的横坐标和纵坐标的符号是正还是负就可以确定它所在的象限了。通常见到以下两种类型的判断。
二、点的坐标为具体数字
对于点的横纵坐标为具体数字的题目，我们一般归纳为：
（1） 横纵坐标同是正数在第一象限，横坐标负数纵坐标正数在第二象限，横纵坐标同是负数在第三象限，横坐标正数纵坐标负数在第四象限。
（2） 正正在第一，负正在第二，负负在第三，正负在第四。
（3）如点A（4，7）在第一象限，点B（-2，5）在第二象限，点C(-4,-1)在第三象限，点D（2，-6）在第四象限。
三、横坐标为字母或宗坐标为相关的代数式
例如横坐标是X，纵坐标也是一个关于X的代数式时，因为纵坐标可以用Y表示，所以本人认为还可以把纵坐标转化为一个以X为自变量的函数，根据函数所经过的象限，就可以判断点有可能在哪些象限，不经过哪些象限，具体来说有以下几种常见的类型。
1、转化为一次函数
2、转化为反比例函数
3、转化为二次函数
【典例1】若点坐标满足，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．无法确定
【答案】B
【分析】
利用完全平方公式展开并整理得到xy=-1，从而判断出x、y异号，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴2xy=-2，
∴xy=-1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二、四象限．
故选：B．
考法02 求点到坐标轴的距离
1、 求线段长法
根据点到X轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到Y轴距离等于该点横坐标的绝对值，只要能够确定该点到X轴、Y轴的距离，再结合点所在的象限写出点的坐标；通常过该点作X轴或Y轴的垂线段，构造直角三角形，利用勾股定理求相关线段长
2、 代入法
若已知该点的横坐标或纵坐标，可将已知的坐标代入点所在函数的解析式来求另一坐标
3、 交点法
把点看做两条函数图像的交点，求出两函数的解析式，并将他们联立成方程组，解这个方程组得到的X、Y就是交点的横、纵坐标
4、 列方程（组）法
设出点的坐标（X,Y），列出关于X或Y的方程（组），解出X、Y可得结果
【典例2】已知点P的坐标为，则点P到y的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】
根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
解：∵点P的坐标为（-3，-4），
∴点P到y轴的距离为3．
故选：B．
分层提分

题组A 基础过关练
1．平面直角坐标系内有一点，若，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】
解：∵a＞0，
∴-a＜0，
∴点A（a，-a）位于第四象限．
故选：D．
2．点P（m+3，m﹣2）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，5） B．（5，0） C．（﹣5，0） D．（0，﹣5）
【答案】D
【分析】
点P在y轴上则该点横坐标为0，可解得m的值，从而得到点P的坐标．
【详解】
解：∵P（m+3，m-2）在y轴上，
∴m+3=0，解得m=-3，
即m-2=-3-2=-5．即点P的坐标为（0，-5）．
故选：D．
3．已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（　　）
A．第一或第三象限 B．第一象限
C．第三象限 D．坐标轴上
【答案】A
【分析】
直接利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】
解：∵直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，
∴ab同号，
则点M的位置在第一或第三象限．
故选：A．
4．平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）到x轴的距离是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．﹣2
【答案】B
【分析】
由题意知，在平面直角坐标系中的点，到轴的距离即为该点的纵坐标的绝对值；
【详解】
平面直角坐标系中，点到x轴的距离为：；所以该点到轴的距离为：2；
故选：B
5．在平面直角坐标系内，点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，即|-5|=5．
【详解】
解：点P（2，-5）到x轴的距离是|-5|=5，
故选D．
6．点P（-2，1）到y轴的距离为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】
根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求解即可．
【详解】
解：点P的坐标为(-2，1)，
∴点P到y轴的距离为2，
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
横坐标是定值，只需判断即可．
【详解】
解：∵无论m为何值，均有
∴点一定在第二象限，
故选：B．
题组B 能力提升练
1．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的好点．已知点的好点为，点的好点为，点的好点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用点P（x，y）的好点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2019=4×504+3可判断点P2019的坐标与点P3的坐标相同．
【详解】
解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3）
点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，
而2019=4×504+3，
所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（-3，3）．
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，则a+b的值为（　　）
A．33 B．﹣33 C．﹣7 D．7
【答案】B
【分析】
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而得到a+b．
【详解】
解：∵点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于x轴对称，
∴b＝﹣20，a＝﹣13，
∴a+b＝﹣20+（﹣13）＝﹣33，
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于（     ）
A．（7，6） B．（7，﹣6） C．（﹣7，6） D．（﹣7，﹣6）
【答案】C
【分析】
由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化．
【详解】
解：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），
∴ g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）．
故选：C．
4．若点在第二象限，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，表示出m、n，再根据各象限内的点的坐标特征解答即可；
【详解】
∵点A(n，m)在第二象限，
∴m＞0，n＜0，
∴m2＞0，-n＞0，
∴点B(m2，-n)在第一象限，
故选：A．
5．已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标：___________．
【答案】或或
【分析】
分和两种情况，再分别利用全等三角形的性质求解即可得．
【详解】
设点P的坐标为，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当时，
，
轴，
，
又，
，
解得或，
则此时点P的坐标为或；
（2）如图2，当时，
，
点P在x轴上，且，
则此时点P的坐标为；
综上，符合条件的点P的坐标为或或，
故答案为：或或．

6．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（m，7），三角形ABC的面积为14，则m的值为_____．
【答案】m=4或.
【分析】
点C在直线y=7上，根据点C的不同位置，结合图形，用含m的代数式表示出三角形ABC的面积，得到关于m的方程，解方程求解即可.
【详解】
解：如图1，

当点C在y轴右侧时，

∴，
∴，
解得：m=4；
当点C在y轴左侧，线段ED上（不含E点）时，此时m<0,

,
∴,
∴，
解得：m=4；
∵m<0,
∴不合题意.
当点C在E点左侧时，m<0


∴
∴，
解得：m=；
综上：m=4或.
故答案为：m=4或.
7．已知点M在y轴上，点P(3，-2)，若线段MP的长为5，则点M的坐标是_______.
【答案】(0，2)或(0，-6)
【分析】如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N，在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，由勾股定理得M1N=M2N=4，再由N（0，-2）即可得点M的坐标．
【详解】
如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N．

∴在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，M1N=M2N==4，
又∵N（0，-2），
∴M（0，2）或（0，-6）．
故答案为：（0，2）或（0，-6）．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN＋MN的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作Q点关于OP的对称点E，过E作EF垂直AB交AB于F点，利用三角形的高求出EQ=,又△EFQ相似于△OPB，利用相似的性质求出EF即可.
【详解】

解：作Q点关于OP的对称点E，过E作EF垂直AB交AB于F点，
由题意可得：PQ=4，PQ=3，OP=5
则△OPQ，OP边上的高为，所以EQ=
又分析题意可得：△EFQ∽△OPB
则 即，解得：EF=.
故答案为D.
2．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
【答案】B
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，

∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
3．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为，关于的对称点，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称中心重复前面操作，依次得到，，……则点的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，－4） D．（－4，2）
【答案】B
【分析】
设，再根据中点的坐标特点求出、的值，找出循环的规律即可得出点的坐标．
【详解】
解：设，
点、、，点关于的对称点为，关于的对称点，
，，
解得，，
．
同理可得，，，，，，，，
每6个操作循环一次．
，
点的坐标与相同，即：．
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上取一点，使为等腰三角形，符合条件的点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】
由A、B坐标可得AB=4，然后按A、B、C分别为顶点，即当AC=AB=4、BC=BA=4、CA=CB、画出图形，即可找到点C.
【详解】
解：如图，∵，，∴AB=4
①当A为顶点时，即AC=AB=4，以A为圆心，以4为半径作圆交两轴于点C1，C2，C3，3个点；
②当B为顶点时，即BC=BA=4，以B为圆心，以4为半径作圆交两轴于点C4，C5， 2个点，与x正半轴的交点与C1重合；
③当C为顶点时，即CA=CB，作线段AB的垂直平分线交y轴于点C6，1个点，与x轴交点与C1重合.
所以符合条件的点有6个.
故选：B

5．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（   ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
【答案】D
【详解】
依题意可得：

∵AC∥x，∴y=2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即
BC的最小值=5﹣2=3，此时点C的坐标为（3，2），故选D．
6．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足x﹣y+3=0，则CD长的最小值为（　　）
A． B．4 C．2 D．2
【答案】D
【解析】试题解析：如图，

根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，
∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，
直线x-y+3=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=-3，即F（-3，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=3，EM=2，EF=OE2+OF2=32，
∵△EOF∽△ECM，
∴CMOF＝EMEF，
即CM3＝232，
解得：CM=2，
则CD的最小值为2CM=22．
故选D．
7．在平面直角坐标系中，任意两点A（，），B（，），规定运算：①A⊕B=（，）；②A⊗B=；③当且时，A=B，有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；
（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；
（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；
（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
试题分析：（1）A⊕B=（1+2，2﹣1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（﹣1）=0，所以（1）正确；
（2）设C（，），A⊕B=（，），B⊕C=（，），而A⊕B=B⊕C，所以=，=，则，，所以A=C，所以（2）正确；
（3）A⊗B=，B⊗C=，而A⊗B=B⊗C，则=，不能得到，，所以A≠C，所以（3）不正确；
（4）因为（A⊕B）⊕C=（，），A⊕（B⊕C）=（，），所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确．
故选C．