6.5 一次函数与二元一次方程-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第6章 一次函数
6.5 一次函数与二元一次方程
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课程标准
课标解读
1. 能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
1、知道二元一次方程（组）与一次函数关系.
2、能根据一次函数图像求二元一次方程组近似解
3、方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力
知识精讲

知识点01 一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
【即学即练1】1．如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】
解：∵直线y＝kx＋b和y＝mx＋n相交于点（3，−2），
∴关于x、y的方程组的解为，
故选A．
知识点02 一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
【微点拨】
1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
【即学即练2】2．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．
【详解】
解：由题图得一次函数与的图象交于点（1,3），
∴二元一次方程组的解是 ．
故选：B
知识点03 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【即学即练3】3．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
解：把x＝1时，代入y＝x+1，得出y＝2，即两直线的交点坐标P为（1，2），即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解为
故选B．
【即学即练4】4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为一条边向右侧作矩形，且点在直线上，若矩形的面积为20，直线与直线交于点．则的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由直线y1=2x+4求得OB=4，根据解析式面积求得D(5，4)，代入y2=-x+b求得解析式，然后联立解析式，解方程组即可求得．
【详解】
∵直线y1=2x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴B(0，4)，
∴OB=4，
∵矩形OCDB的面积为20，
∴OB•OC=20，
∴OC=5，
∴D(5，4)，
∵D在直线y2=﹣x+b上，
∴4=﹣5+b，
∴b=9，
∴直线y2=﹣x+9，
解，得，
∴P(，)，
故选：A．
能力拓展

考法01 两直线的交点与二元一次方程的解
1.二元一次方程组的解与点的坐标的关系
（1）二元一次方程组的解（x，y）在直角坐标系中对应的点都在一条直线上；这条直线上的点的坐标确定的数对都是该方程组的解.
（2）二元一次方程组的两个方程所对应的两直线相交，两直线相交有唯一交点，且交点坐标适合两个方程，所以此方程组有唯一解；若两直线平行，则方程组无解；若两直线重合，则方程组有无数解.反之，利用方程组解的情况，可以推断方程所对应直线的交点的个数.
2.用平面直角坐标系求二元一次方程组的近似解的一般方法
（1）总体思路为：两个方程的解对应的点分别在两条直线上，做出这两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，所以是方程组的解.
（2）具体步骤为：任取方程①的两组解，表示成有序实数对.在直角坐标系中描出对应的两点，过这两点作直线l. 同样方法取方程②中的两组解，作出直线2
（3）直线l与2的交点的坐标确定的数对既是方程①的解，又是方程②中的解，因此是此方程组的解.
【典例1】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】
解：∵直线y=x+1经过点P（1，b），
∴b=1+1，
解得b=2，
∴P（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故选D．
考法02 求直线围成的图形面积
1、利用数形结合思想画出图像，求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解
2、正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积相等的两部分，求此正比例函数的解析式.
3、变式：正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积为1:2的两部分，求此正比例函数的解析式.
【典例2】一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．y随x的增大而增大 B．直线y＝2x+4经过点（0，4）
C．当x