6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第6章 一次函数
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
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课程标准
课标解读
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
3.对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系进行揭示
1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
知识精讲

知识点01 一次函数和一元一次方程的关系
1. 一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．
2.从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，且a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可． 从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现
【微点拨】
1、一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2、从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
【知识拓展】
现代数学上的三大难题：
一、是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18 世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗?
二、是相邻两国不同着一-色，任-地图着色最少可用几色完成着色?五色已证出,四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。
三、是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识(认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形)。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。(如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题;十八个点用两色连必出现单色四边形;两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。)单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。
归纳为20棵树植树问题，四色绘地图问题，单色三角形问题。通称现代数学三大难题。
【即学即练1】1．已知一次函数y= x-1的图象如图所示，下列正确的有（ ）个．
① 点（-2，-3）在该函数的图象上 ② 方程x-1=0的解为x=2 ③ 当x>2时，y的取值范围是y>0 ④ 该直线与直线 平行

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
①把代入，得，由此判断；
②移项，化系数为1即可解题；
③根据图象解题；
④根据两直线的系数相同，不同即可判断．
【详解】
解：①把代入，得，故函数图象不经过点，故①错误；
②方程


故②正确；
③由图象可知，当x>2时，y>0，故③正确；
④ 直线与直线的，相同，不同，故两直线平行，故④正确，综上，正确的有3个，
故选：B．
知识点02 一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
【微点拨】
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
【即学即练2】2．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式－2x＋b＜0的解集为（　　）

A．x> B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【分析】
首先根据A点坐标算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得答案．
【详解】
解：∵一次函数y＝−2x＋b的图象过点A（0，3），
∴b＝3，
∴函数解析式为y＝−2x＋3，
当y＝0时，x＝，
∴B（，0），
∴不等式−2x＋b＜0的解集为x＞，
故选：A．
知识点03 一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
【即学即练3】3．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，关于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
知识点04 如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【即学即练4】4．一次函数与正比例函数，若则自变量的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知条件可知，若，则，解之即可．
【详解】
∵，
∴，
解得，，
故选：A．
能力拓展

考法01 求不等式组的解集
1、 把各个不等式的解集表示在数轴上，观察公共部分。
2、 不等式组的解集不外乎以下4种情况：
若ab时；（同大取大） 当xy2，
所以，故③正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，又当-1≤x≤2，函数的值1≤y≤4，
所以可知图象经过（-1，4）、（2，1）两点，则有
，解得，故④错误，
故正确的有3个，
故选C.
5．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线分别与交于点，与轴交于点．若，则下列范围中，含有符合条件的的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两直线与y轴的交点相同为（0，-2），求出A与B坐标，由S△GAB＜S△GOA，得AB＜OA，由此列出不等式进行解答．
【详解】
∵直线l1：y=kx-2与x轴交于点A，直线l2：y=（k-3）x-2分别与l1交于点G，与x轴交于点B．
∴G（0，-2），A（ ，0），B（ ，0），
∵S△GAB＜S△GOA，
∴AB＜OA，
即 ，即
当k＜0时， ，解得k＜0；
当0＜k＜3时，，解得k＜0（舍去）；
当k＞3时，，解得k＞6，
综上，k＜0或k＞6，
∴含有符合条件的k的是k＞3．
故选D．
6．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）

A．＞-2 B．＜-2 C． D．
【答案】D
【详解】
由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.
故选D.

7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（　　）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【答案】D
【分析】
先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.
【详解】
解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选D．