第07讲 两条直线的交点（六大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第07讲 两条直线的交点
【题型归纳目录】
题型一：求直线的交点
题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系
题型三：由直线交点的个数求参数
题型四：由直线交点坐标求参数
题型五：三线能否围成三角形问题
题型六：直线交点系方程
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
【典例例题】
题型一：求直线的交点
【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)

【对点训练1】（2023·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．

【对点训练2】（2023·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）．
A． B．
C． D．

题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系
【例2】（2023·高二单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ）
A．过点P且与直线l斜交
B．过点P且与直线l重合
C．过点P且与直线l平行
D．过点P且与直线l垂直

【对点训练3】（2023·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（    ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点

题型三：由直线交点的个数求参数
【例3】（2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．且

【对点训练4】（2023·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1

【对点训练5】（2023·江苏·高二专题练习）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

题型四：由直线交点坐标求参数
【例4】（2023·高二课时练习）两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．(,) B．(,0)
C．(0,) D．()

【对点训练6】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．

【对点训练7】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ）
A．或 B． C． D．

题型五：三线能否围成三角形问题
【例5】（2023·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1

【对点训练8】（2023·江苏徐州·高二校考期中）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ）
A．个 B．个
C．个 D．个

【对点训练9】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1

题型六：直线交点系方程
【例6】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.

【对点训练10】（2023·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ .

【对点训练11】（2023·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)斜率为；
(2)过点；
(3)平行于直线．





【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（   ）
A．20 B．-4 C．12 D．4
3．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ）
A．或 B． C． D．
4．（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西贵港·高二校考阶段练习）直线恒过定点（   ）
A． B． C． D．
8．（2023·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、多选题
9．（2023·河北张家口·高二校联考期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）．
A． B． C． D．
10．（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ）
A．－2 B．2 C．4 D．6
11．（2023·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
12．（2023·广东广州·高二校考期中）若两条直线和的交点在第四象限，则k的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________．
14．（2023·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．
15．（2023·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________．
16．（2023·高二课时练习）若三条直线，，不能围成三角形，则m的值等于______．
四、解答题
17．（2023·江苏·高二假期作业）求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．




18．（2023·江苏·高二假期作业）求经过直线l1：和l2：的交点，且平行于直线l3：的直线l的方程．




19．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)求顶点C的坐标.




20．（2023·高二课时练习）在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)求直线的方程;
(3)求点的坐标.




21．（2023·高二课时练习）已知的顶点，其垂心为，求顶点A的坐标．




22．（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．