第08讲 平面上的距离（十二大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第08讲 平面上的距离
【题型归纳目录】
题型一：中点公式
题型二：两点距离公式
题型三：由顶点判断三角形的形状
题型四：由两点距离公式求最值
题型五：点线距离公式
题型六：面积问题
题型七：由点线距离求参数
题型八：点关于直线对称
题型九：直线关于直线对称
题型十：平行线间距离公式
题型十一：直线关于点对称
题型十二：将军饮马问题
【知识点梳理】
知识点一：中点坐标公式
若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式．
知识点二：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点三：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点四：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例题】
题型一：中点公式
【例1】（2023·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知点，则线段AB的中点坐标为________．
【答案】
【解析】由题意知：中点坐标为，即．
故答案为：．
【对点训练1】（2023·全国·高二课时练习）直线l经过已知点，且被两条已知直线截得的线段恰以P为中点，求直线l的方程．
【解析】当斜率不存在时，直线，代入直线得：；代入直线得：，所以中点不是点P，当斜率存在时，
设直线，联立 得： ；
联立得：，因为截得的线段恰以P为中点，
所以，解得：，所以直线，即：
【对点训练2】（2023·江苏·高二课时练习）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长．
【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边，
故．
题型二：两点距离公式
【例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（    ）
A．25 B．5
C．4 D．
【答案】B
【解析】由两点间的距离公式得．
故选：B.
【对点训练3】（2023·广西防城港·高二统考期末）已知点，则为（    ）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【解析】.
故选：A
【对点训练4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由，
令，得，设；
令，得，设.
所以.
故选：A
题型三：由顶点判断三角形的形状
【例3】（2023·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【答案】C
【解析】，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故选：C
【对点训练5】（2023·江苏镇江·高二统考期中）已知，，，则是（    ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】，，，
，
，，
，
是直角三角形．
故选：A．
题型四：由两点距离公式求最值
【例4】（2023·湖北宜昌·高二校联考期中）函数的最小值是（    ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】，
则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：

根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，
则，此时直线的直线方程为
令，则，故当时，.
故选：A.
【对点训练6】（2023·辽宁大连·高二育明高中校考阶段练习）代数式的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离，
所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为，
连接交于点，此时最小，最小值为.
故选：B.
【对点训练7】（2023·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
记点、、，则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.

故选：C.
题型五：点线距离公式
【例5】（2023·高二课时练习）坐标原点到直线的距离是（    ）
A．10 B． C． D．2
【答案】B
【解析】坐标原点到直线的距离.
故选：B
【对点训练8】（2023·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】原点到直线的距离为，
根据垂线段的性质可知的最小值是，
故选：A
【对点训练9】（2023·福建泉州·高二校考阶段练习）已知，则的最小值是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】表示原点与直线上的点的两点间距离，
所以的最小值是原点到直线的距离.
故选：D
【对点训练10】（2023·河南濮阳·高二校考阶段练习）若点到直线的距离为（    ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】由点到直线的距离公式可得,
故选：B.
题型六：面积问题
【例6】（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________.
【答案】8
【解析】关于直线的对称点；
，，，
的直线方程为，
联立，解得，．

；
到的距离；
的面积．
故答案为：．
【对点训练11】（2023·高二课时练习）若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可以为______．（写出符合条件的一个答案即可）
【答案】(答案不唯一，也可填或)
【解析】易得四条直线的斜率都是存在的，
当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，
设过点A和点C的直线分别为：即，：即，则过点B和点D的直线分别为：即，：即，
其中和的距离与和的距离相等，即，解得，
故正方形的边长为，该正方形的面积为；
当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点B的直线分别为：即和：即，则过点C和点D的直线分别为：即和：即，
其中和的距离与和的距离相等，即，解得，
故正方形的边长为，该正方形的面积为；
当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点D的直线分别为：即和：即，则过点B和点C的直线分别为：即和：即，
其中和的距离与和的距离相等，即，解得，
故正方形的边长为，该正方形的面积为,
故答案为：(答案不唯一，也可填或)
【对点训练12】（2023·广西梧州·高二校考开学考试）已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】/
【解析】
设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离
．
故答案为：
题型七：由点线距离求参数
【例7】（2023·高二课时练习）已知到直线的距离等于4，则a的值为__________．
【答案】10或
【解析】由到直线的距离等于4，
则，解得或．
故答案为：10或．
【对点训练13】（2023·高二校考课时练习）若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为________________.
【答案】或
【解析】依题意，设点A的坐标为，
则有，解得或.
故答案为：或.
【对点训练14】（2023·河北邢台·高二统考阶段练习）已知点和点到直线的距离相等，则___________.
【答案】3或
【解析】因为点和点到直线的距离相等，
所以由点到直线的距离公式可得：
，
解得或，
故答案为：3或
题型八：点关于直线对称
【例8】（2023·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】依题意，点与点关于折痕所在直线对称，则折痕所在直线的方程为，
因此点关于直线的对称点为，
所以与点重合的点的坐标是.
故答案为：
【对点训练15】（2023·山东淄博·高二统考期末）直线恒过定点，则点关于直线对称的点N坐标为_________．
【答案】
【解析】直线，即，
当，即时，，
故直线恒过定点，
设点关于直线对称的点N坐标为，
，
，即，
故答案为：.
【对点训练16】（2023·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）已知点与点关于直线对称，则的值为__________．
【答案】
【解析】点与点关于直线对称，
所以，即，.
故答案为：
【对点训练17】（2023·北京·高二北师大实验中学校考期中）点关于直线的对称点的坐标为______ .
【答案】
【解析】设点是点关于直线的对称点.
由已知直线的斜率为1，所以，
解得，所以点.
故答案为：.
题型九：直线关于直线对称
【例9】（2023·高二单元测试）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
【对点训练18】（2023·高二校考课时练习）直线关于直线对称的直线方程是__.
【答案】
【解析】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为，
则,得对称点的坐标为，
又点在直线上，
所以，即.
所以所求直线方程为.
故答案为：.
【对点训练19】（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为________
【答案】
【解析】设所求直线方程为，且，
直线与直线间的距离为，
则直线与直线间的距离为，又，得，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
题型十：平行线间距离公式
【例10】（2023·福建宁德·高二统考期中）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
【答案】3
【解析】因为直线与平行，
所以，解得且，
所以直线为，
直线化为，
因为两平行线间的距离为，
所以，得，
因为
所以，得，
所以，
故答案为：3
【对点训练20】（2023·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________．
【答案】
【解析】依题意设直线的方程为，，
则，即，解得，
所以直线的方程为．
故答案为：
【对点训练21】（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线与直线间的距离为__________
【答案】/
【解析】由直线，得，
所以，
由直线，得，
所以，
所以.
所以直线与直线平行，
所以直线与直线间的距离为
.
故答案为：.
【对点训练22】（2023·江西抚州·高二统考期末）若直线：与：平行，则与之间的距离为______．
【答案】
【解析】因为直线：与：平行，
所以，解得，
所以直线：与：平行，
所以与之间的距离为.
故答案为：.
题型十一：直线关于点对称
【例11】（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．
【答案】
【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，
故答案为：
【对点训练23】（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）与直线关于点对称的直线方程是_________.
【答案】
【解析】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等，
设直线为，则，解得或（舍去），
所以所求直线方程为.
故答案为：.
【对点训练24】（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是____________．
【答案】
【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即，
故答案为：.
题型十二：将军饮马问题
【例12】（2023·高二课时练习）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值．
【解析】设关于直线的对称点为，
线段的中点为，
所以，
解得，即，
所以的最小值为，
此时直线的方程为，
由解得，所以.
【对点训练25】（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线.
(1)求直线的方程；
(2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标.
【解析】（1）因为与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，
由已知，过点作直线，交直线与点，交直线与点，
因为，，所以，，因为，所以,又，
所以,所以，则或
，结合图形检验可得与条件矛盾，所以，故直线的方程为；

（2）设点关于直线的对称点，则，所以，
当且仅当三点共线时等号成立，连接与直线交与，即点与点重合时，取最小值，
由已知，，
所以点的坐标为，点的坐标为，所以，联立可得，
所以点的坐标为，故点的坐标为时最小.

【对点训练26】（2023·辽宁沈阳·高二校联考阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M．
(1)使最大值；
(2)使最小．
【解析】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上，
所以，得，则，
由，则，
要使最大，只需共线，.

（2）如上图，要使最小，只需共线，
所以.
【对点训练27】（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称.
(1)求直线的方程；
(2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标.
【解析】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点到直线的距离为，
所以，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
当时，，
则直线与轴交于点，
点，关于点的对称轴分别为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
（2）设原点为关于直线的对称点为，则，
所以，
所以当三点共线时取等号，
设，则，解得，即，
所以，
所以直线的方程为，即，
由，解得，即.


【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广西河池·高二统考期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之间的距离.
故选：A.
2．（2023·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，直线：恒过定点，
直线：恒过定点，如图所示，
过作的垂线段，垂足为，
那么必有，当且仅当与重合时取等号，
从而的最大值为，
即点到直线：距离的最大值是.
故选：D.

  
3．（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（    ）
A．1 B．2 C．
【答案】A
【解析】，
故选：A
4．（2023·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（    ）
A． B．2 C．14 D．
【答案】D
【解析】由距离公式可知，所求距离为.
故选：D
5．（2023·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】由距离公式可得，，即解得或.
故选：C
6．（2023·高二课时练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点在直线上运动，
所以可设点的坐标是，
当线段AB垂直直线时，线段AB最短，
由直线得其斜率为-1，
则，得，
所以的坐标是.
故选：A
7．（2023·高二课时练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点C在x轴上，设点，则，
所以，
化简可得：，所以.
故选：D.
8．（2023·高二校考课时练习）到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（　　）.
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意可得，
即，
化简得或，
故选：C
二、多选题
9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ）
A．直线与直线l相互平行 B．直线与直线l相互垂直
C．直线与直线l相交 D．点到直线l的距离为
【答案】ACD
【解析】因为直线，斜率，纵截距为，
选项A，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故A正确；
选项B，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故B错误；
选项C，由，解得，所以直线的交点为，故C正确；
选项D，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故D正确；
故选：ACD.
10．（2023·浙江·高二校联考期中）下列各结论，正确的是（    ）
A．直线与两坐标轴交于A，B两点，则
B．直线与直线之间的距离为
C．直线上的点到原点的距离最小为1
D．点与点到直线的距离相等
【答案】ACD
【解析】对于A，直线与两坐标轴的交点，
则，故A正确；
对于B，直线与直线之间的距离为
，故B不正确；
对于C，直线上的点到原点的距离最小为
原点到直线的距离即，故C正确；
对于D，点到直线的距离为
与点到直线的距离为.
所以点与点到直线的距离相等，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023·山东济南·高二校考期中）已知，两点到直线的距离相等，则实数的值可能为（    ）
A． B．3 C． D．1
【答案】AB
【解析】因为，两点到直线的距离相等，
所以，
即，化简得，解得，
所以实数的值可能为．
故选：AB．
12．（2023·江西宜春·高二校考阶段练习）下列结论正确的有（    ）
A．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是
B．点关于的对称点为
C．直线方向向量为，则此直线倾斜角为
D．若直线与直线平行，则或2
【答案】BC
【解析】选项A，作图如下：

直线过定点，若与线段相交，则，
直线的斜率，故A错误；
选项B，设点关于的对称点为，
则，解得，
所以点关于的对称点为，故B正确；
选项C，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，
所以倾斜角为，故C正确；
选项D，由两直线平行可得，则，故D错误；
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·江苏·高二假期作业）倾斜角为，并且与原点的距离是5的直线方程为_______________．
【答案】或
【解析】因为直线斜率为，
可设直线方程为，即．
由直线与原点距离为5，得，
解得，
所以所求直线方程为或．
故答案为：或.
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知定点，若直线上总存在点，满足条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为点在直线上，
所以可设，
由，得，
由两点间的距离公式可得

整理可得，
由，解得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
15．（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则|________．
【答案】
【解析】将直线的方程变形为，由，可得，即点，
将直线的方程变形为，
由，可得，即点，
所以，.
故答案为：.
16．（2023·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
【答案】10
【解析】由得，故,由得,
由于直线与直线互相垂直，所以,
故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10
故答案为：10
四、解答题
17．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
【解析】（1）因为，，
所以，所以，化简可得.
（2）点到直线的距离，
，
则.
18．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程：
(1)经过直线,的交点P，且经过点；
(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．
【解析】（1）联立，得，即，
由两点式得，即.
（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线，即，
依题意得，解得或，
所以直线的方程为或.
19．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，且∥．
(1)求的值；
(2)求两平行线与之间的距离．
【解析】（1）因为直线，且∥，
所以，解得
（2）由（1）知的方程为，即，
所以与之间的距离为 ．
20．（2023·高二课时练习）（1）已知点到直线的距离，求a的值．
（2）在直线求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
【解析】（1）由题意，，，解得或.
（2）设点，由题意，.
点P到直线的距离为，
所以，解得.
即点P的坐标为或
21．（2023·高二单元测试）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l.
  
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标.
【解析】（1）因为直线AC的斜率为，所以直线l的斜率为.
因为AC的中点为，所以直线l的方程为，即.
（2）点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上，
所以，当点P位于直线BC与l交点处时，取最小值，则取最小值.
由得直线BC的方程为，即，
联立方程，解得，
所以点P的坐标为.
22．（2023·上海·高二阶段练习）已知直线和点，若正方形的边在直线上，点为正方形的中心，求直线和的一般式方程.
【解析】点到直线的距离为，
因为直线与直线平行，设方程为，
则或（舍去），故直线方程为；
直线与直线垂直，设其方程为，
则或，
故直线方程为或．