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第12讲 椭圆（十大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）
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这是一份第12讲 椭圆（十大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版），文件包含第12讲椭圆十大题型解析版docx、第12讲椭圆十大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
第12讲 椭圆
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；
（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
（4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【典例例题】
题型一：椭圆的定义
【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
【对点训练1】（2023·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，
又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长
，
故选：D
【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
【答案】C
【解析】因为，
所以，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
【对点训练3】（2023·上海静安·高二校考期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.
故选：D
题型二：求椭圆的标准方程
【例2】（2023·甘肃武威·高二校考开学考试）（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．
【解析】（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，
则，解得：，
椭圆方程为：
（2）因为，，解得：，
又因为，所以，
椭圆的标准方程为或.
【对点训练4】（2023·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)，，焦点在y轴上；
(3)，．
【解析】（1）∵，，椭圆焦点在x轴上，∴其标准方程为：；
（2）∵，，∴，
∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程为：；
（3）∵，，∴，
因为椭圆焦点位置不确定，其标准方程为：或.
【对点训练5】（2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；
(2)经过点和点．
【解析】（1）因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；
所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为，
（2）设椭圆的方程为，
因为椭圆经过点和点，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【对点训练6】（2023·广东梅州·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过两点.
(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为（），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为；
（2）设所求椭圆的方程，
将代入上式得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为；
（3）椭圆，即，故，
焦点为，，
设所求椭圆的标准方程，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
题型三：椭圆的综合问题
【例3】（多选题）（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
【答案】BD
【解析】的面积最大值是，则，椭圆方程.
，椭圆离心率，A选项错误；
若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选:BD.
【对点训练7】（多选题）（2023·云南楚雄·高二统考期末）已知椭圆：的焦点分别为，，为上的动点，则（ ）
A．的周长为 B．的最大值为
C．的长轴长为 D．的离心率为
【答案】CD
【解析】对A，因为，，所以，，.
因为焦点在轴上，所以的周长为，故A选项错误；
对B，根据结论知的最大值为，故B选项错误；
对C，长轴长为，故C选项正确；
对D，离心率为，故D正确.
故选：CD
【对点训练8】（多选题）（2023·吉林长春·高二校考期末）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．点P到直线的最小距离是
【答案】AD
【解析】由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；
对D：设，则P到直线的距离，
其中，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：AD.
【对点训练9】（多选题）（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由椭圆性质可得：的面积满足，
又存在以c为半径的圆内切于，
∴，
∴a+c≤b，
∴（a+c）2≤2b2＝2（a2－c2），
∴3c2+2ac－a2≤0，
∴3e2+2e－1≤0，
又，
解得，
故选：CD.
【对点训练10】（2023·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
【解析】（1）因为长轴长是短轴长的倍，则，
所以椭圆C的方程为，
把点的坐标代入上式，得，可得，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知右焦点F的坐标为，
若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立方程组，消去x，得，
判别式，
设，则，，
．
令，则，
当且仅当时，等号成立，即，解得，
所以此时直线l的方程为或．
【对点训练11】（2023·高二课时练习）在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【解析】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．
所以,
两式相减得,
∴.
∵A为的中点,
∴,，即.
由题意:,所以,即.
∴所求椭圆方程为.
【对点训练12】（2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得， ，
所以，，
所以椭圆的方程为：；；
（2）由，可得，
因为直线与这个椭圆交于两不同的点，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【对点训练13】（2023·浙江宁波·高二校考期中）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，，解得，
故椭圆标准方程为.
（2）由，消去，得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【对点训练14】（2023·全国·高二专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
【解析】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，
所以，即，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为，
因为，所以，所以，
又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，
所以顶点B的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练15】（2023·高二课时练习）的两个顶点坐标分别是和，边，所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程是________．
【答案】
【解析】设顶点A的坐标为，由题意得，化简整理，得，
又是的三个顶点，所以三点不共线，因此y≠±6，
所以顶点A的轨迹方程为．
故答案为：
【对点训练16】（2023·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
【对点训练17】（2023·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有，则，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，
所以点Q的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练18】（2023·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，
所以，所以圆心的轨迹为椭圆.
其中，，故，
因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.
故答案为：.
【对点训练19】（2023·高二课时练习）到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18的动点P的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】设动点的坐标为，
因为点到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18，
所以，
所以，即.
故答案为：.
【对点训练20】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，，
圆，即，圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，
则，
所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆，
可设方程为，则，，
所以，，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
【对点训练21】（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为__________.
【答案】.
【解析】由平面上两点间的距离公式可知，到与的距离之和为8，
又与两点间的距离为4，且，
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，所以.
故点的轨迹方程为.
故答案为：.
题型五：椭圆的简单几何性质
【例5】（2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）椭圆的焦距为______.
【答案】
【解析】因为椭圆，即，
所以，即，
所以焦距为.
故答案为：
【对点训练22】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.
【答案】8
【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案为：
【对点训练23】（2023·天津宁河·高二校考阶段练习）椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.
【答案】2
【解析】变形得到，
因为椭圆的一个焦点是，在轴上，
故，解得：.
故答案为：2
【对点训练24】（2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】或
【解析】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
【对点训练25】（2023·高二课时练习）椭圆的内接正方形的周长为__________．
【答案】/19.2
【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，
则，所以周长为，
故答案为：
【对点训练26】（2023·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围，
因此，即．
故答案为：.
题型六：求椭圆的离心率
【例6】（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】
由已知可知，点，是线段的三等分点，则 为 的中点，右焦点为，所以,
所以 x 轴，由椭圆方程 得A 点的坐标为,,
关于 对称，易知 B 点坐标
将其代入椭圆方程得得，
所以离心率为.
故答案为： .
【对点训练27】（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）设，是椭圆E：的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线l与直线相交于点P，若为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是______.
【答案】/
【解析】由题可得直线l的方程为，
由，解得，则，
由于为等腰三角形，所以，
所以，
可得，，.
故答案为：.
【对点训练28】（2023·上海浦东新·高二统考期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示）
【答案】
【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：
【对点训练29】（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为_________.
【答案】/
【解析】设，，，则，
两式相减得，即，
所以，因为是垂直平分线，有，
所以，即，化简得，
∵，∴.
故答案为：
【对点训练30】（2023·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）已知椭圆的左右顶点为，，点为直线上一点，若的外接圆的面积的最小值为，则该椭圆的离心率为______.
【答案】/
【解析】若为外接圆的圆心，半径为，则，故，
由外接圆圆心为各边中垂线的交点知：必在轴上（不妨令其在轴上方），
所以，故，则.
故答案为：
【对点训练31】（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知椭圆，是它的右焦点，是它的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为________．
【答案】/0.5
【解析】由题意可知：，，
∴ ， ∴，
∴，∴，.
故答案为：.
题型七：求椭圆离心率的取值范围
【例7】（2023·广东深圳·高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为_____________．
【答案】．
【解析】设，，
则，
所以，得.
将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，
两式相减，得，有，所以，
由，得，即，
由，得，即，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故答案为：.
【对点训练32】（2023·福建龙岩·高二校联考期中）椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
【答案】
【解析】设点,由得,
化简得,
依题意得圆与椭圆有四个交点，
所以，即，即，所以，
所以.
故答案为:.
【对点训练33】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______
【答案】
【解析】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，
所以椭圆上存在点使，
只需最大的情况下，有，
又椭圆离心率，故.
故答案为：
【对点训练34】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
【对点训练35】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
【答案】
【解析】设，由椭圆的定义得:,
由余弦定理，得:．
又，当且仅当时，取最大值，
于是，
所以
且，．
故答案为: .
【对点训练36】（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知椭圆的两个焦点是,满足的点总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 _______________.
【答案】
【解析】因为，所以以为直径的圆始终在椭圆内部，
即椭圆的短轴两个端点在圆外部，可得，即，
即，可得.
故答案为：.
【对点训练37】（2023·河南·高二校联考期末）已知椭圆的半焦距为，且满足，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，得，，
两边除以得，又，解得.
故答案为：
【对点训练38】（2023·北京海淀·高二统考期末）椭圆的左、右顶点分别为、，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】如图，当在椭圆上顶点时，最大，
此时，即可，
则，得，即，
所以，即，得，
所以，即椭圆的离心率．
故答案为：
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
【例8】（2023·广东阳江·高二校考期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.
【答案】
【解析】由已知可得，，可得，，
所以，，解得.
故答案为：.
【对点训练39】（2023·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.
【答案】/0.25
【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故，
又，所以.
故答案为：
【对点训练40】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】/
【解析】由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：
【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，
又由椭圆的离心率为，即，可得，
所以，所以，即椭圆的短轴长为.
故答案为：.
题型九：椭圆中的范围与最值问题
【例9】（2023·上海宝山·高二上海市行知中学校考期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______.
【答案】
【解析】当为锐角时，则向量数量积大于零，
由椭圆方程可得，，
设，
则①，
又②，
①②联立化简得，
解得或，所以，
故答案为：
【对点训练42】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．
【答案】
【解析】由椭圆标准方程可知，
又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以
所以
易知，当且仅当三点共线时等号成立；
又，所以；
即的范围为.
故答案为：
【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
【解析】椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【答案】[1,3]
【解析】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
【对点训练45】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______．
【答案】
【解析】的最小值为，即，解得，长轴长为.
故答案为：
【对点训练46】（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______．
【答案】
【解析】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
【对点训练47】（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为__________.
【答案】8
【解析】如图,
由，得，则，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故答案为：8
【对点训练48】（2023·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ______
【答案】6
【解析】圆的方程为，
圆心，半径，
设，则，，
到圆心的距离，
又 当时，取得最大值，
的最大值为： ，
故答案为：．
【对点训练49】（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是______．
【答案】21
【解析】由椭圆 得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，
则
故答案为：21．
题型十：焦点三角形
【例10】（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
从而．
故答案为：
【对点训练50】（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
【答案】/
【解析】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
【对点训练51】（2023·广西南宁·高二统考开学考试）已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】椭圆的焦点，，设点，
依题意，，又，于是，
所以点的坐标为.
故答案为：
【对点训练52】（2023·河南开封·高二校考阶段练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.
【答案】24
【解析】由椭圆的方程可得：，，
，
，
，且根据椭圆的定义可得：，
，，
则在中，
，
，
故答案为：24.
【对点训练53】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
【答案】4
【解析】∵，；∴，因为，所以，
设，，
则①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案为：4．
【对点训练54】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.
【答案】7
【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，由①②，解得，
.
故答案为：7.
【对点训练55】（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为 __．
【答案】2
【解析】，；，，
设，，为椭圆上一点，①，
，②，
由①②得，
．
故答案为：2．
【对点训练56】（2023·高二单元测试）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
【对点训练57】（2023·高二单元测试）椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
【对点训练58】（2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
【答案】
【解析】由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·重庆长寿·高二统考期末）下列椭圆中最接近于圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，
对于椭圆而言，若椭圆的离心率越接近于零，则该椭圆越接近于圆.
对于A选项，椭圆的离心率为，
对于B选项，椭圆的离心率为，
对于C选项，椭圆的离心率为，
对于D选项，椭圆的离心率为，
因为，故D选项中的椭圆越接近于圆.
故选：D.
3．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，
所以，即 ，
A． ，则 ，故错误；
B． ，则 ，故错误；
C． ，则 ，故正确；
D． ，则 ，故错误；
故选：C
4．（2023·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】B
【解析】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，
对于椭圆，因为，则，
可得，且焦点在y轴上，
所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
5．（2023·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】
由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，
由题意，，
所以，，，，
所以椭圆方程为：，
当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，
故选：B
6．（2023·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
7．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，
，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：C.
8．（2023·高二课时练习）若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1 B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，
椭圆化为标准方程为，
由图可知，直线与椭圆相切时取得最值，
设直线，
代入椭圆方程消去得，
令，解得，
所以，即的最小值为.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】方程可化为，依题意，解得.
故选：ABC．
10．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点
【答案】BC
【解析】A：因为方程表示椭圆，
所以，解得，且，故A错误；
B：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，故B正确；
C：若，则椭圆方程为，
所以，从而，故C正确；
D：若，则椭圆方程为，
点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．△面积的最大值为
C．
D．离心率
【答案】ACD
【解析】由椭圆可得，，
所以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为1，
所以线段为直径的圆到直线的距离为，故A正确；
由题可得△面积的最大值为，故B错误；
所以，故C正确；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江衢州·高二统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
【答案】AB
【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C错误；
，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误．
故选：AB
三、填空题
13．（2023·高二课时练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．
【答案】3或
【解析】由椭圆，可得椭圆，
当时，表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，即，
当时，表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
综上，实数a的值为3或.
故答案为：3或.
14．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________．
【答案】
【解析】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
15．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上关于轴对称的两点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率是______.
【答案】/
【解析】依题意，设，显然，
∴，，
得，又∵M，N是椭圆上的点，
有，得，
所以，
；
故答案为：.
16．（2023·安徽六安·高二六安二中校考开学考试）若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，
由椭圆的定义可得，，
所以，
由，得 ，即圆C2的圆心为，半径为，
作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝ (当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·河南新乡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求两点的横坐标之积．
【解析】（1）由题意可得，解得
故椭圆的方程为．
（2）不妨设，
联立消去，得，
易得，则由韦达定理，故．
18．（2023·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
【解析】根据题意可知，，
不妨设，设；
①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或；
②若为直角，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或
③若为直角，则，即
可得，联立椭圆方程可得，
解得，所以
即点的坐标为或或或
19．（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.
【解析】
由已知，，可得，.
因为的周长为16，则.
根据椭圆定义可得，，
所以，，
所以，，
所以，.
20．（2023·高二课时练习）过椭圆的左焦点作x轴的垂线，交椭圆于A、B两点，，又（为右焦点）的周长等于8．求椭圆的方程．
【解析】由椭圆的定义知，
的周长为，
得，
又，轴，垂足为，
将代入椭圆方程，得，
不妨设，所以，得，
所以椭圆的方程为.
21．（2023·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点使得？若存在，求的面积，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）椭圆的离心率为，
，解得.
椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
假设椭圆上存在点，使得，
则，
即，
联立解得.
椭圆上存在点使得.
.
22．（2023·高二课时练习）设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值.
【解析】（1）因为椭圆的方程为，所以a＝2，b＝1，c＝，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为4．
（2）设，因为，，
所以＝，＝．
因为＝λ，即，得，．
又，所以有，解得λ＝－7或λ＝1．
因为C异于B点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7．
第12讲 椭圆
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；
（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
（4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【典例例题】
题型一：椭圆的定义
【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
【对点训练1】（2023·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，
又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长
，
故选：D
【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
【答案】C
【解析】因为，
所以，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
【对点训练3】（2023·上海静安·高二校考期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.
故选：D
题型二：求椭圆的标准方程
【例2】（2023·甘肃武威·高二校考开学考试）（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．
【解析】（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，
则，解得：，
椭圆方程为：
（2）因为，，解得：，
又因为，所以，
椭圆的标准方程为或.
【对点训练4】（2023·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)，，焦点在y轴上；
(3)，．
【解析】（1）∵，，椭圆焦点在x轴上，∴其标准方程为：；
（2）∵，，∴，
∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程为：；
（3）∵，，∴，
因为椭圆焦点位置不确定，其标准方程为：或.
【对点训练5】（2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；
(2)经过点和点．
【解析】（1）因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；
所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为，
（2）设椭圆的方程为，
因为椭圆经过点和点，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【对点训练6】（2023·广东梅州·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过两点.
(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为（），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为；
（2）设所求椭圆的方程，
将代入上式得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为；
（3）椭圆，即，故，
焦点为，，
设所求椭圆的标准方程，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
题型三：椭圆的综合问题
【例3】（多选题）（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
【答案】BD
【解析】的面积最大值是，则，椭圆方程.
，椭圆离心率，A选项错误；
若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选:BD.
【对点训练7】（多选题）（2023·云南楚雄·高二统考期末）已知椭圆：的焦点分别为，，为上的动点，则（ ）
A．的周长为 B．的最大值为
C．的长轴长为 D．的离心率为
【答案】CD
【解析】对A，因为，，所以，，.
因为焦点在轴上，所以的周长为，故A选项错误；
对B，根据结论知的最大值为，故B选项错误；
对C，长轴长为，故C选项正确；
对D，离心率为，故D正确.
故选：CD
【对点训练8】（多选题）（2023·吉林长春·高二校考期末）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．点P到直线的最小距离是
【答案】AD
【解析】由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；
对D：设，则P到直线的距离，
其中，当且仅当时等号成立，D正确.
故选：AD.
【对点训练9】（多选题）（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由椭圆性质可得：的面积满足，
又存在以c为半径的圆内切于，
∴，
∴a+c≤b，
∴（a+c）2≤2b2＝2（a2－c2），
∴3c2+2ac－a2≤0，
∴3e2+2e－1≤0，
又，
解得，
故选：CD.
【对点训练10】（2023·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
【解析】（1）因为长轴长是短轴长的倍，则，
所以椭圆C的方程为，
把点的坐标代入上式，得，可得，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知右焦点F的坐标为，
若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立方程组，消去x，得，
判别式，
设，则，，
．
令，则，
当且仅当时，等号成立，即，解得，
所以此时直线l的方程为或．
【对点训练11】（2023·高二课时练习）在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【解析】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．
所以,
两式相减得,
∴.
∵A为的中点,
∴,，即.
由题意:,所以,即.
∴所求椭圆方程为.
【对点训练12】（2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得， ，
所以，，
所以椭圆的方程为：；；
（2）由，可得，
因为直线与这个椭圆交于两不同的点，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【对点训练13】（2023·浙江宁波·高二校考期中）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，，解得，
故椭圆标准方程为.
（2）由，消去，得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【对点训练14】（2023·全国·高二专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
【解析】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
题型四：轨迹方程
【例4】（2023·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，
所以，即，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为，
因为，所以，所以，
又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，
所以顶点B的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练15】（2023·高二课时练习）的两个顶点坐标分别是和，边，所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程是________．
【答案】
【解析】设顶点A的坐标为，由题意得，化简整理，得，
又是的三个顶点，所以三点不共线，因此y≠±6，
所以顶点A的轨迹方程为．
故答案为：
【对点训练16】（2023·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
【对点训练17】（2023·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有，则，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，
所以点Q的轨迹方程为.
故答案为：
【对点训练18】（2023·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，
所以，所以圆心的轨迹为椭圆.
其中，，故，
因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.
故答案为：.
【对点训练19】（2023·高二课时练习）到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18的动点P的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】设动点的坐标为，
因为点到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18，
所以，
所以，即.
故答案为：.
【对点训练20】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，，
圆，即，圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，
则，
所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆，
可设方程为，则，，
所以，，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
【对点训练21】（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为__________.
【答案】.
【解析】由平面上两点间的距离公式可知，到与的距离之和为8，
又与两点间的距离为4，且，
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，所以.
故点的轨迹方程为.
故答案为：.
题型五：椭圆的简单几何性质
【例5】（2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）椭圆的焦距为______.
【答案】
【解析】因为椭圆，即，
所以，即，
所以焦距为.
故答案为：
【对点训练22】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.
【答案】8
【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案为：
【对点训练23】（2023·天津宁河·高二校考阶段练习）椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.
【答案】2
【解析】变形得到，
因为椭圆的一个焦点是，在轴上，
故，解得：.
故答案为：2
【对点训练24】（2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】或
【解析】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
【对点训练25】（2023·高二课时练习）椭圆的内接正方形的周长为__________．
【答案】/19.2
【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，
则，所以周长为，
故答案为：
【对点训练26】（2023·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围，
因此，即．
故答案为：.
题型六：求椭圆的离心率
【例6】（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】
由已知可知，点，是线段的三等分点，则 为 的中点，右焦点为，所以,
所以 x 轴，由椭圆方程 得A 点的坐标为,,
关于 对称，易知 B 点坐标
将其代入椭圆方程得得，
所以离心率为.
故答案为： .
【对点训练27】（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）设，是椭圆E：的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线l与直线相交于点P，若为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是______.
【答案】/
【解析】由题可得直线l的方程为，
由，解得，则，
由于为等腰三角形，所以，
所以，
可得，，.
故答案为：.
【对点训练28】（2023·上海浦东新·高二统考期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示）
【答案】
【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：
【对点训练29】（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为_________.
【答案】/
【解析】设，，，则，
两式相减得，即，
所以，因为是垂直平分线，有，
所以，即，化简得，
∵，∴.
故答案为：
【对点训练30】（2023·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）已知椭圆的左右顶点为，，点为直线上一点，若的外接圆的面积的最小值为，则该椭圆的离心率为______.
【答案】/
【解析】若为外接圆的圆心，半径为，则，故，
由外接圆圆心为各边中垂线的交点知：必在轴上（不妨令其在轴上方），
所以，故，则.
故答案为：
【对点训练31】（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知椭圆，是它的右焦点，是它的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为________．
【答案】/0.5
【解析】由题意可知：，，
∴ ， ∴，
∴，∴，.
故答案为：.
题型七：求椭圆离心率的取值范围
【例7】（2023·广东深圳·高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为_____________．
【答案】．
【解析】设，，
则，
所以，得.
将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，
两式相减，得，有，所以，
由，得，即，
由，得，即，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故答案为：.
【对点训练32】（2023·福建龙岩·高二校联考期中）椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
【答案】
【解析】设点,由得,
化简得,
依题意得圆与椭圆有四个交点，
所以，即，即，所以，
所以.
故答案为:.
【对点训练33】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______
【答案】
【解析】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，
所以椭圆上存在点使，
只需最大的情况下，有，
又椭圆离心率，故.
故答案为：
【对点训练34】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
【对点训练35】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
【答案】
【解析】设，由椭圆的定义得:,
由余弦定理，得:．
又，当且仅当时，取最大值，
于是，
所以
且，．
故答案为: .
【对点训练36】（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知椭圆的两个焦点是,满足的点总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 _______________.
【答案】
【解析】因为，所以以为直径的圆始终在椭圆内部，
即椭圆的短轴两个端点在圆外部，可得，即，
即，可得.
故答案为：.
【对点训练37】（2023·河南·高二校联考期末）已知椭圆的半焦距为，且满足，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，得，，
两边除以得，又，解得.
故答案为：
【对点训练38】（2023·北京海淀·高二统考期末）椭圆的左、右顶点分别为、，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】如图，当在椭圆上顶点时，最大，
此时，即可，
则，得，即，
所以，即，得，
所以，即椭圆的离心率．
故答案为：
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
【例8】（2023·广东阳江·高二校考期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.
【答案】
【解析】由已知可得，，可得，，
所以，，解得.
故答案为：.
【对点训练39】（2023·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.
【答案】/0.25
【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故，
又，所以.
故答案为：
【对点训练40】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】/
【解析】由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：
【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，
又由椭圆的离心率为，即，可得，
所以，所以，即椭圆的短轴长为.
故答案为：.
题型九：椭圆中的范围与最值问题
【例9】（2023·上海宝山·高二上海市行知中学校考期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______.
【答案】
【解析】当为锐角时，则向量数量积大于零，
由椭圆方程可得，，
设，
则①，
又②，
①②联立化简得，
解得或，所以，
故答案为：
【对点训练42】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．
【答案】
【解析】由椭圆标准方程可知，
又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以
所以
易知，当且仅当三点共线时等号成立；
又，所以；
即的范围为.
故答案为：
【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
【解析】椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【答案】[1,3]
【解析】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
【对点训练45】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______．
【答案】
【解析】的最小值为，即，解得，长轴长为.
故答案为：
【对点训练46】（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______．
【答案】
【解析】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
【对点训练47】（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为__________.
【答案】8
【解析】如图,
由，得，则，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故答案为：8
【对点训练48】（2023·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ______
【答案】6
【解析】圆的方程为，
圆心，半径，
设，则，，
到圆心的距离，
又 当时，取得最大值，
的最大值为： ，
故答案为：．
【对点训练49】（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是______．
【答案】21
【解析】由椭圆 得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，
则
故答案为：21．
题型十：焦点三角形
【例10】（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
从而．
故答案为：
【对点训练50】（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
【答案】/
【解析】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
【对点训练51】（2023·广西南宁·高二统考开学考试）已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】椭圆的焦点，，设点，
依题意，，又，于是，
所以点的坐标为.
故答案为：
【对点训练52】（2023·河南开封·高二校考阶段练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.
【答案】24
【解析】由椭圆的方程可得：，，
，
，
，且根据椭圆的定义可得：，
，，
则在中，
，
，
故答案为：24.
【对点训练53】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
【答案】4
【解析】∵，；∴，因为，所以，
设，，
则①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案为：4．
【对点训练54】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.
【答案】7
【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，由①②，解得，
.
故答案为：7.
【对点训练55】（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为 __．
【答案】2
【解析】，；，，
设，，为椭圆上一点，①，
，②，
由①②得，
．
故答案为：2．
【对点训练56】（2023·高二单元测试）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
【对点训练57】（2023·高二单元测试）椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
【对点训练58】（2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
【答案】
【解析】由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·重庆长寿·高二统考期末）下列椭圆中最接近于圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，
对于椭圆而言，若椭圆的离心率越接近于零，则该椭圆越接近于圆.
对于A选项，椭圆的离心率为，
对于B选项，椭圆的离心率为，
对于C选项，椭圆的离心率为，
对于D选项，椭圆的离心率为，
因为，故D选项中的椭圆越接近于圆.
故选：D.
3．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，
所以，即 ，
A． ，则 ，故错误；
B． ，则 ，故错误；
C． ，则 ，故正确；
D． ，则 ，故错误；
故选：C
4．（2023·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】B
【解析】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，
对于椭圆，因为，则，
可得，且焦点在y轴上，
所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
5．（2023·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】
由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，
由题意，，
所以，，，，
所以椭圆方程为：，
当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，
故选：B
6．（2023·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
7．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，
，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：C.
8．（2023·高二课时练习）若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1 B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，
椭圆化为标准方程为，
由图可知，直线与椭圆相切时取得最值，
设直线，
代入椭圆方程消去得，
令，解得，
所以，即的最小值为.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】方程可化为，依题意，解得.
故选：ABC．
10．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点
【答案】BC
【解析】A：因为方程表示椭圆，
所以，解得，且，故A错误；
B：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，故B正确；
C：若，则椭圆方程为，
所以，从而，故C正确；
D：若，则椭圆方程为，
点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．△面积的最大值为
C．
D．离心率
【答案】ACD
【解析】由椭圆可得，，
所以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为1，
所以线段为直径的圆到直线的距离为，故A正确；
由题可得△面积的最大值为，故B错误；
所以，故C正确；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江衢州·高二统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
【答案】AB
【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C错误；
，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误．
故选：AB
三、填空题
13．（2023·高二课时练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．
【答案】3或
【解析】由椭圆，可得椭圆，
当时，表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，即，
当时，表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
综上，实数a的值为3或.
故答案为：3或.
14．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________．
【答案】
【解析】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
15．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上关于轴对称的两点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率是______.
【答案】/
【解析】依题意，设，显然，
∴，，
得，又∵M，N是椭圆上的点，
有，得，
所以，
；
故答案为：.
16．（2023·安徽六安·高二六安二中校考开学考试）若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，
由椭圆的定义可得，，
所以，
由，得 ，即圆C2的圆心为，半径为，
作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝ (当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·河南新乡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求两点的横坐标之积．
【解析】（1）由题意可得，解得
故椭圆的方程为．
（2）不妨设，
联立消去，得，
易得，则由韦达定理，故．
18．（2023·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
【解析】根据题意可知，，
不妨设，设；
①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或；
②若为直角，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或
③若为直角，则，即
可得，联立椭圆方程可得，
解得，所以
即点的坐标为或或或
19．（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.
【解析】
由已知，，可得，.
因为的周长为16，则.
根据椭圆定义可得，，
所以，，
所以，，
所以，.
20．（2023·高二课时练习）过椭圆的左焦点作x轴的垂线，交椭圆于A、B两点，，又（为右焦点）的周长等于8．求椭圆的方程．
【解析】由椭圆的定义知，
的周长为，
得，
又，轴，垂足为，
将代入椭圆方程，得，
不妨设，所以，得，
所以椭圆的方程为.
21．（2023·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点使得？若存在，求的面积，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）椭圆的离心率为，
，解得.
椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
假设椭圆上存在点，使得，
则，
即，
联立解得.
椭圆上存在点使得.
.
22．（2023·高二课时练习）设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值.
【解析】（1）因为椭圆的方程为，所以a＝2，b＝1，c＝，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为4．
（2）设，因为，，
所以＝，＝．
因为＝λ，即，得，．
又，所以有，解得λ＝－7或λ＝1．
因为C异于B点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7．
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