第03讲 子集、全集、补集-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第03讲 子集、全集、补集

1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　
2．了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　
3．能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会Venn图对理解抽象概念的作用．


知识点一 子集、真子集

子集
真子集
概念
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB 或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”
续表

子集
真子集
图示


结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C；
(3)规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集
(1)若A B且B C，则A C；
(2)若A⊆B且A≠B，则A B；
(3)空集是任何非空集合的真子集

知识点二 全集、补集
1．全集
(1)概念：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集；
(2)记法：通常记作．
2．补集
文字语言
设A⊆S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作∁SA(读作“A在S中的补集”)
符号语言
∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}
图形语言

3．补集的性质
(1)若A⊆S，则①∁SA⊆S；②∁S(∁SA)＝A；
③(∁SS)＝∅；④∁S∅＝S.
(2)已知A⊆S，B⊆S，相关结论如下：
①若A⊆B，则∁SA⊇∁SB；②若∁SA⊇∁SB，则A⊆B.
特别地，若A＝B，则∁SA＝∁SB；反之，若∁SA＝∁SB，则A＝B.

考点一：集合间关系的判断
例1 指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1 (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．

【总结】
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；
(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法．

变式 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空．
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.

考点二：确定有限集合的子集、真子集及其个数
例2 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．

【总结】
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤

2．若集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．

变式 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．

考点三：由集合间的包含关系求参数值
例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．

【总结】
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形；
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．

变式 （1）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1
（2）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
（3）已知集合A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．

考点四：全集与补集
例4 (1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　)
A．U B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝________．

【总结】
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
变式 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁UA＝{5}，则实数a的值为________．


1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)
A．A⊆B B．A⊇B
C．AB D．AB

2．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　 )
A．15 B．16
C．256 D．32

3．(多选)已知集合A＝{x|x2＋2x＝0}，则有(　　)
A．∅⊆A B．2∈A
C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}

4．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．

5．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．

6．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．N∈M　　　　　 B．NM
C．N⊇M D．N⊆M

7．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．

8．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A⊆∁RS，则集合A中的元素可能是(　　)
A．－2　　　　B．2　　　　C．－3　　　　D．3

9．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合∁SA＝________．

10．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1,3,5}，则m＝________．


1．下列选项中正确的是(　　)
A．1⊆{1} B．{1}∈{1，2}
C．{1}⊆{1，2} D．1∉{1}

2．若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)
A．{1，2} B．{x|x≤1}
C．{－1，0，1} D．R

3．满足{1}⊆A{1，2，3}的集合A的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．7

4．已知集合A＝{x|x2＜2，x∈Z}，则A的真子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8

5．集合A＝{(x，y)|y＝|x|}，集合B＝{(x，y)|y>0，x∈R}，则下列说法正确的是(　　)
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A＝B
D．集合A，B间没有包含关系

6．(多选)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若 B≠∅，B⊆A，则(a，b)可能是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(1，1)

7．(多选)已知全集U＝R，A＝{x|x＜2或x＞4}，B＝{x|x≥a}，且∁UA⊆B，则实数a的取值范围可以是(　　)
A．a＜2 B．a＞2
C．a≤2 D．a≥2

8．下图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容．
A为__________；B为__________；C为__________；D为__________.


9．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．

10．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．
(1)若A＝B，则y的值为________；
(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．

11．判断下列集合间的关系．
(1)A＝{－1，1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；
(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．

12．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为(　　)
A． B．
C．{0，2} D．

13．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　)
A．0 B．
C．1 D．2

14．已知集合A＝{2，3，5，6，8}，B＝{1，3，5，7，10}，集合C满足：(1)若将C中的元素均减2，则新集合C1就变成A的一个子集；(2)若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集；(3)C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根，集合C的真子集个数为________．

15．已知A＝{x|－1


16．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：
(1)当A＝{2，3，4}时，x的值；
(2)当2∈B，BA时，a，x的值；
(3)当B＝C时，a，x的值．



17．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．



18．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．