第04讲 交集、并集-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第04讲 交集、并集

1. 理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集．　
2. 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．　
3. 会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力．


知识点一 交集
1．交集的概念
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图

①　　 　②　　　　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁UA)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．
3．对交集概念的理解
(1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；
(2)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
知识点二 并集
1．并集的概念
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图

①　　　　②　　　③
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A⊆A∪B；(3)B⊆A∪B；
(4)A∪A＝A；(5)A∪∅＝A；(6)A∪(∁UA)＝U；
(7)A∪U＝U(其中U为全集)．
3．对并集概念的理解
A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)；
4．交、并、补集的运算性质
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅，∁U∅＝U；
A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
知识点三 区间的概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)

{x|a≤x＜b}
左闭右开区间
[a，b)

{x|a＜x≤b}
左开右闭区间
(a，b]

2.无穷大
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
定义
区间
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)

{x|x＞a}
(a，＋∞)

{x|x≤b}
(－∞，b]

{x|x＜b}
(－∞，b)



考点一：交集的运算
例1 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】　(1)A　(2)D
【解析】(1)在数轴上表示出集合A与B，如图．

则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.

【总结】
求两集合交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．

变式 (1)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x＞－1} B．{x|x＜2}
C．{x|－1＜x＜2} D．∅
【答案】C　
【解析】在数轴上标出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1＜x＜2}．

(2)已知集合A＝{x|－2≤x＜1}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{－2，－1，0}
【答案】D　
【解析】因为A＝{x|－2≤x＜1}，B＝{－2，－1，0，1}，
所以A∩B＝{－2，－1，0}．故选D.

考点二：并集的运算

例2 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5，或x>－3}
B．{x|－5 C．{x|－3 D．{x|x<－3，或x>5}
【答案】　(1)D　(2)A
【解析】(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}．故选D.

(2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
【总结】
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．
变式 (1)若集合A＝{2，4}，B＝{1，3}，则A∪B＝(　　)
A．{1，2，3} B．{1，3}
C．{2，4} D．{1，2，3，4}
【答案】D　
【解析】因为A＝{2，4}，B＝{1，3}，所以A∪B＝{1，2，3，4}．故选D.
(2)若集合A＝(－1，＋∞)，B＝(－2，2)，则A∪B＝______．
【答案】(－2，＋∞)
【解析】画出数轴如图所示，故A∪B＝(－2，＋∞).


考点三：交集、并集、补集的综合运算
例3 (1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝(　　)
A．{4} B．{1，2}
C．{1，2，4} D．{1，3，4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0 【答案】　(1)C　(2)D
【解析】(1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}．故选C.
(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0 【总结】
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

变式 (多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4 A．∁UB＝{x|x<2或x≥5}
B．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}
C．(∁UA)∪B＝{x|x<1或26}
D．∁U(∁UB)＝{x|2≤x<5}
【答案】ABD　
【解析】因为B＝{x|2≤x<5}，所以∁UB＝{x|x<2或x≥5}，故A正确；
由∁UB＝{x|x<2或x≥5}可得A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}，故B正确；
由∁UA＝{x|x<1或3 由∁U(∁UB)＝B＝{x|2≤x<5}可得D正确．故选A、B、D.

考点四：由集合的并集、交集求参数
例4 已知集合A＝{x|－3 【解析】(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知，k的取值范围是.

【总结】
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；
(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
变式 (1)已知集合A＝{x|－3 【解析】由A∩B＝A可知A⊆B.
所以即所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.
(2)已知集合A＝{x|－3 【解析】由题意可知解得k＝3.所以k的值为3.
考点五：集合运算中的新定义问题
例5 对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________．
【答案】　{x|－3≤x＜0或x＞3}
【解析】∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，
∴A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}．
∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x＞3}．
【总结】
集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答．
变式 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝8}中的元素个数是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
【答案】B　
【解析】(1)当m，n都是正偶数时：
m从2，4，6任取一个有三种取法，而对应的n有一种取法，
∴(m，n)有三种取法，即这种情况下集合M有3个元素；
(2)当m，n都为正奇数时：
m从1，3，5，7任取一个有四种取法，而对应的n有一种取法，
∴(m，n)有四种取法，即这种情况下集合M有4个元素；
(3)当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：
m＝8，n＝1或m＝1，n＝8，即这种情况下集合M有2个元素．
∴集合M的元素个数是3＋4＋2＝9.故选B.


1．已知A＝{x|x＜7，x∈N}，B＝{5，6，7，8}，则集合A∪B中的元素个数为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C　
【解析】A＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，共9个元素．故选C.
2．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　 )
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
【答案】B　
【解析】∵A∩B＝{(2，5)}，∴解得故选B.
3．(多选)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N“相交”，则a可能等于(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】AD　
【解析】依题意，M＝，显然集合M，N都含有两个元素，由两个集合“相交”的意义得集合M，N恰有一个公共元素，故＝或＝1，解得a＝4或a＝1，所以a可能等于4或1.故选A、D.
4．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
【答案】{a|－3≤a<－1}
【解析】由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，

则解得－3≤a<－1.
5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是________．
【答案】{k|k≤6}
【解析】因为N＝{x|2x＋k≤0}＝，且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6.
所以k的取值范围是{k|k≤6}．
6．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于(　　)
A．{1,6,5,6,8}　　　　 B．{1,5,6,8}
C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
【答案】B　
【解析】求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．
7．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
【答案】D　
【解析】N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．
8．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3) D．{－1,0,1,2,3}
【答案】D　
【解析】由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P．因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D．
9．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁UM)∪N＝________．
【答案】{0,2,3}　
【解析】由题意知，∁UM＝{0,3}，所以(∁UM)∪N＝{0,2,3}．
10．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________．
【答案】{(0,2)}　
【解析】由题意可得M∩N＝＝{(0,2)}．



1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1} B．{4}
C．{1，3} D．{1，4}
【答案】D　
【解析】由题意B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．
2．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤a}，若A∪B＝{x|1＜x≤4}，则a＝(　　)
A.1 B．2
C．3 D．4
【答案】D　
【解析】因为集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤a}，且A∪B＝{x|1＜x≤4}，所以a＝4.故选D.
3．某电脑安装了“Windows”和“Linux”两个独立的操作系统．每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用．设事件A＝“Windows系统正常”，B＝“Linux系统正常”．以1表示系统正常，0表示系统不正常，用x1，x2分别表示“Windows”和“Linux”两个系统的状态，(x1，x2)表示电脑的状态，则事件A∪B＝(　　)
A. {(0，0)，(0，1)}
B．{(1，0)，(1，1)}
C．{(0，1)，(1，0)，(1，1)}
D．{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}
【答案】C　
【解析】由题意可得(0，0)表示两个系统都不正常，电脑不能使用；
(0，1)或(1，0)表示两个系统有一个正常，一个不正常，电脑能正常使用；
(1，1)表示两个系统都正常，电脑能正常使用．
A∪B表示电脑能正常使用，所以C正确．故选C.
4．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(　　)
A．t<－3 B．t≤－3
C．t>3 D．t≥3
【答案】A　
【解析】B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.

5．若集合M＝{(x，y)|3x－y＝0}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝0}，则(　　)
A．M∩N＝M B．M∪N＝M
C．M∪N＝N D．M∩N＝∅
【答案】B　
【解析】因为集合M＝{(x，y)|3x－y＝0}，
N＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}，
⇒
所以M∩N＝{(0，0)}＝N，所以M∪N＝M.故选B.
6．(多选)设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系中正确的是(　　)
A．A＝B B．A∪B＝R
C．A∩C＝∅ D．A⊆B
【答案】BC　
【解析】由题意可知，∵A＝{x|y＝x2－4，x∈R}＝R，∴A＝R，∵B＝{y|y＝x2－4≥－4}＝{y|y≥－4}，∴B＝[－4，＋∞).
∵C＝{(x，y)|y＝x2－4}，∴C表示二次函数y＝x2－4图象上任意一点的坐标构成的集合．∴B≠A，A∪B＝R，A∩C＝∅，B⊆A.故选B、C.
7．(多选)已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a＋2}，则下列结论正确的是(　　)
A．若A∩B＝∅，则a＞1
B．若a＞1，则A∩B＝∅
C．若A∪B＝R，则a＜1
D．若a＜1，则A∪B＝R
【答案】BCD　
【解析】由A∩B＝∅，得a＋2≥3，a≥1，则A错误；
由a＞1，得B＝{x|x＞3}，从而A∩B＝∅，则B正确；
由A∪B＝R，得a＋2＜3，a＜1，则C正确；
由a＜1，得A∪B＝R，则D正确．故选B、C、D.
8．用区间的方法表示下列集合：
A＝{x|0≤x＜5}表示为________；A＝{x|x≤－1或x≥3}为________．
【答案】[0，5)　(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【解析】A＝{x|0≤x＜5}表示为区间[0，5)，A＝{x|x≤－1或x≥3}表示为区间(－∞，－1]∪[3，＋∞).
9. 设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．

【答案】{x|－2≤x<1}
【解析】阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．
10．已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝________．
【答案】{0，1，3，9}
【解析】由题意知N＝{0，3，9}，∴M∪N＝{0，1，3}∪{0，3，9}＝{0，1，3，9}．
11．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由A⊆B知解得m≤－2，
故实数m的取值范围为(－∞，－2].
(2)由A∩B＝∅，得
①当2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②当2m＜1－m，即m＜时，需使或
解得0≤m＜.
综上，实数m的取值范围为[0，＋∞).
12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于(　　)
A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3} D．{x|0≤x≤1或x≥3}
【答案】C　
【解析】由题意知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
13．(多选)已知集合P＝{x|－2＜x≤5}，Q＝{x|k－1≤x≤k＋1}，当k∈M时，P∩(∁RQ)＝P恒成立，则集合M可以为(　　)
A．(－∞，－3] B．[6，＋∞)
C．{8，－8} D．(－∞，－3]∪(6，＋∞)
【答案】ACD　
【解析】∁RQ＝{x|x＜k－1或x＞k＋1}，
因为P∩(∁RQ)＝P，所以P⊆∁RQ.
所以k－1＞5或k＋1≤－2，解得k＞6或k≤－1.故选A、C、D.
14．若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为________．
【答案】±
【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A.
∵A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，
∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意．
15．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，则x＋y＝______，A∪B＝________.
【答案】　{－1，2，－4，7}
【解析】由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}且A∩B＝C，得7∈A，7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去；
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，
故有2y＝－1，
解得y＝－，
经检验满足A∩B＝C.
综上，x＝3，y＝－.所以x＋y＝.
此时A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}，
故A∪B＝{－1，2，－4，7}．
16．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A.
∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B＝A.
当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B＝A时，此时a≠0，则B＝，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
17．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当C＝{x|x∈A，x∈Z}时，求C的非空真子集的个数．
【解析】(1)∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，解得m＜2；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，可得m≥2.
由B⊆A可得解得－3≤m≤3，此时2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，3].
(2)∵C＝{x|x∈A，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为28－2＝254.
18．设m为实数，集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m＋2}．
(1)若m＝3，求A∪B，∁R(A∩B)；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，又A＝{x|－2≤x≤4}，
所以A∪B＝[－2，5]，A∩B＝[3，4]，
所以∁R(A∩B)＝(－∞，3)∪(4，＋∞).
(2)由m＜m＋2，得B≠∅，由A∩B＝∅，
得m＞4或m＋2＜－2，即m＞4或m＜－4.
所以当A∩B＝∅时，实数m的取值范围是m＞4或m＜－4.