第06讲 充分条件、必要条件、充要条件-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第06讲 充分条件、必要条件、充要条件

1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．　
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．　
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．

知识点一 充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p⇒/ q
条件关系
p是q的充分条件；
q是p的必要条件
p不是q的充分条件；
q不是p的必要条件

知识点二 充要条件
1．定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
2． 记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．
3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即
(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；
(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．

考点一：充分条件、必要条件的判断
例1 下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.
【解析】(1)∵等腰梯形的对角线相等，∴四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等．
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件．
(2)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，
∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.当x2－4x＋3＝0时，x＝1或x＝3.
∴p是q的充分条件，p不是q的必要条件．
【总结】
充分、必要条件的三种判断方法
(1)命题判断法
如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(2)定义法
若p⇒q，q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
若p⇒/ q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．
(3)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件．
变式 (多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
【答案】AC　
【解析】∵x＞3⇒x＞2，∴A是真命题；
∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4⇒/ x＝2，∴B是假命题；
∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，∴C是真命题；
∵q⇒/ p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．

考点二：充分条件与必要条件的应用
例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
【总结】
充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤
(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

变式 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因为p是q的充分不必要条件，
所以或
解得m≥9，故实数m的取值范围是{m|m≥9}．

考点三：充要条件的判断
例3 　(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为(　　)
A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0
B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
C．p：x＞5，q：x＞10
D．p：a＞b≥0，q：＞
(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】　(1)BD　(2)C
【解析】(1)对于A选项，p⇒q，但q⇒/ p，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p⇒/ q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选B、D.
(2)∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，
∴“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件．故选C.
【总结】
充要条件的两个判断方法
(1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；
若p⇒/ q，q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A＝B，则p是q的充要条件．

变式 以下选项中，p是q的充要条件的是(　　)
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
【答案】D　
【解析】对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分又不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D.

考点四：充要条件的证明
例4 求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0.
【解析】证明：(1)充分性：∵－＜m＜0，
∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m＞0，
且－3m＞0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－＜m＜0.
综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－＜m＜0.
【总结】
充要条件的证明思路
在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
[注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
变式 已知a，b，c均为实数，证明“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．
【解析】证明：充分性：∵ac＜0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac＜0，∴x1·x2＝＜0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程．
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝＜0，∴ac＜0.
综上知，“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．
考点五：充分条件、必要条件、充要条件的探求
例5 　(1)关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是(　　)
A．m＜ B．m＜
C．m＜－ D．m＜－
(2)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；
(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．
【答案】　(1)A　(2)(ⅰ)①②　(ⅱ)③
【解析】(1)由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m＜是m≤的必要条件．故选A.
(2)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab＞0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
【总结】
寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p⇒q；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q⇒p；
(3)寻求q的充要条件的两种方法．
①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；
②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明．
变式 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【解析】(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒a＜0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为⇒0＜a≤1.
综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.


1．设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B　
【解析】“1＜x＜2”⇒“1＜x＜3”，反之不成立．
∴“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要条件．故选B.
2．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D　
【解析】若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．
3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)

【答案】BD　
【解析】由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选B、D.
4．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，那么“m∈A”是“m∈B”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).
【答案】必要不充分
【解析】由题可知0＜x＜2 ⇒/ 0＜x＜1，但0＜x＜1⇒0＜x＜2，故“m∈A”是“m∈B”的必要不充分条件．
5．已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
【答案】m≥3
【解析】由题意可知，PS，则(等号不同时成立)，解得m≥3.
6．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
7．(多选题)使x>3成立的充分条件是(　　)
A．x>4 B．x>5 C．x>2 D．x>1
【答案】AB　
【解析】x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．
8．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．
9．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
【答案】a≤1　
【解析】因为x>1⇒x>a，所以a≤1．
10．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
【答案】必要　充分
【解析】由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．

1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A　
【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件．故选A.
2．x2＝1是x＝1的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B　
【解析】若x2＝1，则x＝±1；而若x＝1，则必有x2＝1，因此x2＝1是x＝1必要不充分条件．故选B.
3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B　
【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.
4．设p：1＜x＜2，q：2x＋1＞0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A　
【解析】1＜x＜2时，2x＋1＞3＞0，充分性满足；x＝0时满足2x＋1＞0，不满足1＜x＜2，必要性不满足，故p是q的充分不必要条件．故选A.
5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
【答案】A　
【解析】由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5/⇒4≥3.5＋1，故a＞b/⇒a≥b＋1.故A正确．
6．(多选)命题“∀x∈R，则x＜2”的一个必要不充分条件是(　　)
A．x＜1 B．x＜3
C．x＞3 D．x≤5
【答案】BD　
【解析】x＜2的必要不充分条件对应的集合真包含了(－∞，2)，故只有B、D中对应的集合满足这一个要求．故选B、D.
7．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是(　　)
A．a＝b是ac＝bc的充要条件
B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．a＞b是a2＞b2的充要条件
D．a＜5是a＜3的必要条件
【答案】BD　
【解析】∵“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要条件，故C为假命题；
∵{a|a＜3}{a|a＜5}，故“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件，故D为真命题．故选B、D.
8．“x＜0”是“x＜3”的________________条件．
【答案】充分不必要
【解析】设A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜0”是“x＜3”的充分不必要条件．
9．命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的__________条件；“a＝4n”是“a是偶数”的________条件(用“充分”“必要”填空).
【答案】必要　充分
【解析】当a是偶数时，取a＝2，不能得到a＝4n，当a＝4n时，a是偶数，故“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件．
10．设集合A＝{1，2}．
(1)请写出一个集合B，________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B，________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
【答案】B＝{1，2，3}(答案不唯一)　B＝{1}(答案不唯一)
【解析】(1)由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件，所以集合A是集合B的真子集，由此可得B＝{1，2，3}符合题意．
(2)由于“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件，所以集合B是集合A的非空真子集，由此可知B＝{1}符合题意．
11．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：x2＞0，q：x＞0；
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
【解析】(1)p：x2＞0，则x＞0或x<0，q：x＞0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
12．(多选)给出下列四个条件：
①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜＜.
其中能成为x＞y的充分条件的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【解析】AD　①由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2⇒x＞y；
②当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞yt⇒/ x＞y；
③由x2＞y2，得|x|＞|y|，故x2＞y2⇒/ x＞y；
④由0＜＜⇒x＞y.故选A、D.
13．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)
A．m＞0，n＞0 B．mn<0
C．m<0，n<0 D．mn＞0
【解析】D　因为一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，所以－<0，且＞0，解得m＞0，n＞0.故由一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn＞0.而由mn＞0不一定能得到一次函数y＝－x＋的图象经过第一、二、四象限，所以mn＞0是一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．
14．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填入下面空格处．
(1)xy＝0是x2＋y2＝0的________条件；
(2)已知a，b，c∈R，a＝b＝c的________条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac.
【答案】必要不充分条件　(2)充要
【解析】(1)由x2＋y2＝0，解得x＝0且y＝0，
由xy＝0，解得x＝0或y＝0，
故“xy＝0”是“x2＋y2＝0”成立的必要不充分条件；
(2)若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，
则2(a2＋b2＋c2)＝2(ab＋bc＋ac)，
∴2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ac)＝0，
(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，
则a＝b＝c，则a＝b＝c的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac.
15．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出下列四个结论：①2 015∈[0]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，其中正确的结论是________．
【答案】①③④
【解析】对于①，因2 015＝5×403＋0，则2 015∈[0]，正确；
对于②，因－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，不正确；
对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，正确；
对于④，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而得a－b被5除的余数为0，即有a－b∈[0]，若a－b∈[0]，不妨令a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z，k1，k2∈{0，1，2，3，4})，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)，显然(n1－n2)∈Z，|k1－k2|∈{0，1，2，3，4}，于是得|k1－k2|＝0，k1＝k2，即有整数a，b属于同一“类”，
所以“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，正确．所以正确的结论是①③④.
16．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答．
已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}且S≠∅，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的______条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS且S≠∅，
所以解得m≥3，
当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，PS成立，
因此，实数m的取值范围是m≥3；
若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则SP且S≠∅，
则解得m＝0；
若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，即无解，
故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【解析】证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c).
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
18．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
【解析】“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．