第09讲 基本不等式-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第09讲 基本不等式

1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立).　
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　
2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．


知识点一 基本不等式与重要不等式
1．算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立).
3．两个重要不等式
当a，b∈R时，则
（1）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
（2）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立).
不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

知识点二 基本不等式与最值
对于正数a，b，在运用基本不等式时，应注意：
(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值；
(2)取等号的条件.
利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；
(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值；
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．
知识点三 基本不等式的应用
1．基本不等式的变形
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量，建立函数关系；
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；
(3)解题注意点：
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．


考点一：利用基本不等式证明不等式
例1 已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8.
【证明】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
【总结】
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用．

变式 (1)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.
【证明】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(2)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥10.
【证明】因为a，b，c都为正实数，
所以＋＋
＝＋＋
＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
所以≥10.


考点二：利用基本不等式求最值
例2 (1)已知x>2，则x＋的最小值为________；
(2)若00，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.
(2)因为00，b>0．则a＋b的最小值为________．
【答案】2　
【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2．当且仅当a＝b＝1时等号成立，故a＋b的最小值为2．]
10．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2．
【答案】2
【解析】设两段长分别为x cm，(12－x)cm，
则S＝×＋×＝≥×＝2．
当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为2 cm2．

1．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3).则P，Q的大小关系为(　　)
A.P＞Q B．P＜Q
C.P≥Q D．P≤Q
【答案】C　
【解析】P＝a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时等号成立，
Q＝b2－4b＋7＝(b－2)2＋3≤4，当b＝3时等号成立，所以P≥Q.故选C.
2．已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A　
【解析】a＞0，b＞0，若ab≤1，则由a＋b≥2得≤＝≤1，充分性成立，
若≤1，例如a＝，b＝2，则＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立．故选A.
3．若a>0，b>0，且＋＝，则a2＋b2的最小值为(　　)
A.2 B．2
C.4 D．4
【答案】C　
【解析】∵a>0，b>0，∴＋＝≥2，ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立，
∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
综上，a2＋b2的最小值是4.故选C.
4．若对x>0，y>0，有(x＋2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是(　　)
A.m≤4 B．m>4
C.m0，y>0，得(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2y＝x时取等号，则m≤8.故选D.
5．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　 )
A. B．－
C. D．－4
【答案】B　
【解析】由题意可知，只需求－－的最大值即可，因此可先求 ＋的最小值，＋＝(a＋b)＝＋＋≥，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以 －－的最大值是－.故选B.
6．(多选)设a，b是正实数，则下列各式中成立的是(　　)
A.a＋b≥2 B．＋≥2
C.≥2 D．≤
【答案】ABC　
【解析】由≥得a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，∴A成立；
∵＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴B成立；
∵≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴C成立；
∵－＝≥0，∴≥，∴D不成立．故选A、B、C.
7．(多选)已知a，b∈R＋且a＋b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有(　　)
A.ab＜ B．a2＋b2≥
C.＋≤ D．＋≥2
【答案】BC　
【解析】A，因为a，b∈R＋且a＋b＝1，所以ab≤＝，当且仅当即a＝b＝时，等号成立，故A错误；B，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故B正确；C，＝a＋b＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2≤2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，因此＋≤，故C正确；D，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当即时，等号成立，故D错误．故选B、C.
8．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则1，ab，的大小关系是________．
【答案】ab＜1＜
【解析】因为a，b∈R＋，a＋b＝2，
所以a＋b≥2，即ab≤＝1，又a≠b，所以ab＜1，
因为＞0，所以＞ab，则2(a2＋b2)＞(a＋b)2＝4，＞1，
所以ab＜1＜.
9．下列条件中能使＋≥2成立的是________．
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.
【答案】①③④
【解析】要使＋≥2成立，只需＞0，＞0即可，此时＋≥2＝2，当且仅当＝等号成立，若＜0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故①③④满足．
10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则＋的最小值为________．

【答案】20　
【解析】若菜园面积为50平方米，则xy＝50，
所以篱笆总长x＋2y≥2＝20，当且仅当x＝2y，即x＝10，y＝5时等号成立，
故所用篱笆总长的最小值为20；
若使用的篱笆总长度为30米，则x＋2y＝30，
所以＋＝×(x＋2y)＝≥＝，
当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立，
所以＋的最小值为.
11．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，求ab的最大值；
(2)若正数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值．
【解析】(1)ab＝a×2b≤＝2，当且仅当a＝2b＝2即a＝2，b＝1时取等号．
故ab的最大值为2.
(2)a＋b＝1，即(a＋1)＋b＝2，∵a＞0，b＞0，
故＋＝[(a＋1)＋b]＝≥8，当且仅当＝时等号成立，
又a＋b＝1，∴a＝b＝时，＝8.
12．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)
A.2 B．2＋
C.4 D．2＋2
【答案】D　
【解析】因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
13．(多选)下列说法正确的为(　　)
A.若x＞0，则x(2－x)最大值为1
B.函数y＝的最小值为4
C.≥2
D.已知a＞3时，a＋≥2，当且仅当a＝即a＝4时，a＋取得最小值8
【答案】AC　
【解析】选项A，若x＞0，则x(2－x)≤＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时等号成立，故选项A正确；
选项B，y＝＝＝2(＋)≥2×2＝4，
当且仅当＝，即x2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B错误；
选项C，当x＞0时，＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立；
当x＜0时，－x＞0，所以＝(－x)＋≥2＝2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，所以≥2，故选项C正确；
选项D，当a＞3时，a＋＝a－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当a－3＝，即a＝5时等号成立，故选项D错误．
故选A、C.
14．若正实数a，b，c满足a2－3ab＋4b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
【答案】1
【解析】由条件可得c＝a2－3ab＋4b2，则＝＝，
由－3＋4×＝4×＋－3≥2－3＝1，
当且仅当4×＝，即a＝2b时，有最大值，此时c＝2b2，所以＋－＝－＝－＋1，
当b＝1时，＋－有最大值1.所以＋－的最大值为1.
15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．

【答案】　2
【解析】设内接正方形的边长为x，则图②的面积为ab，图③的面积为(a＋b)x，
因为图②和图③的面积相等，则有ab＝(a＋b)x，解得x＝，故内接正方形的边长为.
因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，
利用基本不等式可得a＋b＝ab≥2，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，
故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.
16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价%，第二次提价%.
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
【解析】不妨设提价前的价格为1，则
方案甲：两次提价后的价格为(1＋p%)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案乙：两次提价后的价格为(1＋q%)(1＋p%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案丙：两次提价后的价格为＝1＋p%＋q%＋0.01×%，
由于p＞q＞0，由基本不等式p＋q≥2，当且仅当p＝q时等号成立，
故≥pq，又p≠q，故等号不成立，即＞pq.
因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．
17．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．
【解析】(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立).
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，
每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).
(1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0).
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．