第12讲 对数-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第12讲 对数

1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．　
3．能熟练用对数的运算性质进行化简求值．


知识点一 对数的概念与性质
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1＝0 (a＞0，且a≠1)；
(3)logaa＝1 (a＞0，且a≠1)；
(4)logaaN＝N (a＞0，a≠1，N＞0).
4．指数式与对数式的互化(其中a＞0，且a≠1).

知识点二 对数的运算性质
1．若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么：
(1)loga(MN)＝；
(2)loga＝；
(3)logaM n＝．
2．对数运算中的常见公式及推广
(1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)；
(2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)；
(3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)；
(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为
loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1).

知识点二 换底公式
1．换底公式：（）.
2．换底公式的推论
=，=.
3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：=，=.
4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论=吗？
提示：====.

考点一：指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)3－2＝；(2)＝16；(3)＝－3；(4) ＝－6.

【总结】
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
变式 将下列指数式与对数式互化．
(1)log216＝4；(2) ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝.

考点二：对数的计算
例2 求下列各式中的x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x.

【总结】
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．

变式 求下列各式中x的值．
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)x＝log27.

考点三：对数的性质
例3 　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0.


【总结】
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

变式 求下列各式中x的值．
(1)log3(log4(log5x))＝1


(2)3log3(log4(log5x))＝1

考点四：对数的运算性质
例4 求下列各式的值．
(1)log2(47×25)； (2)lg ；
(3)lg 14－2 lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

【总结】
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

变式 已知ab＞0，有下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；③lg ＝lg ；④lg (ab)＝，其中正确的是________．


考点五：对数换底公式的应用
例5 计算：(1)log29·log34； (2).

【总结】
利用换底公式求值的思想与注意点


变式 若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B．
C．25 D．


考点六：对数的综合应用
例6 已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

【总结】
求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
变式 （1）已知log189＝a，18b＝5，求log1845？(用a，b表示)

（2）已知log94＝a，9b＝5，求log3645.(用a，b表示)

考点七：利用对数运算解决实际问题
例6 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1).

【总结】
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算．
变式 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3 000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30 000万吨(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1).



1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7

2．在b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4)

3．已知a＝(a＞0)，则loga＝(　　)
A．2 B．3
C． D．

4．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________．

5．已知x＝log23，求的值．

6．求值：lg 4＋lg 25＝(　　)
A．100 B．10
C．2 D．1

7．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
A． B．9
C．18 D．27

8．(多选)设a＞0且a≠1，m，n是正整数，则(　　)
A．loga(mn)＝logam＋logan
B．loga＝
C．loganm＝nlogam
D．logamn＝nlogam

9．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．

10．已知a, b是方程log3x3＋log273x＝－的两个根，试给出关于a, b的一个结论________．



1．若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝(　　)
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C． D．

2．方程9x－6·3x－7＝0，则x＝(　　)
A．log37 B．log73
C．7 D．－1

3．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x

4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1

5．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为(　　)
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3

6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N约为1050.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1093 B．10113
C．10123 D．10133

7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A．54＝625与log4625＝5
B．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2
C．＝16与log－416＝
D．9＝3与log93＝

8．(多选)下列运算正确的是(　　)
A．2log10＋log0.25＝2
B．log427·log258·log95＝
C．lg 2＋lg 50＝2
D．－(log2)2＝－

9．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．

10．若logm2＝a，logm3＝b，则的值为________．

11．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．

12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝4＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6

13．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6

14．利用对数恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0).计算：
(1)4＝________；
(2)23＋log23＋32－log39＝________．

15．已知log23＝a，则4a＋4－a的值为________．

16．求x的值．
(1)＝1；
(2)＝x.

17．设实数a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，log4＝1，log8(a＋b－c)＝，求实数a，b，c的值．

18．已知logab＝logba(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)，试探究a与b的关系，并给出证明．