14中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解（提高）

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中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；
2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；
3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；
4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；
5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．

【知识网络】


【考点梳理】
考点一、一元一次方程
1.方程
含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
3.等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
4.一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.
5.一元一次方程解法的一般步骤
整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).
6.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.
要点诠释：
列方程解应用题的常用公式：
(1)行程问题： 距离=速度×时间 ；
(2)工程问题： 工作量=工效×工时 ；
(3)比率问题： 部分=全体×比率 ；
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
(5)商品价格问题： 售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；
(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，
S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.

考点二、一元二次方程
1.一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.
3.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0； (2)试比较A、B、C的大小关系，并说明理由.
【答案】
（1）A-B=
∵，∴
∴A-B>0
(2) ∵C-B=
∴C>B
∵A-C=
∵，∴
∴A>C>B
【变式2】如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是______．

【答案】
解：设n为正整数，由题意得
解得
则n可取的最小正整数为11．
若x为奇数，即x＝21时，y＝105；
若x为偶数，即x＝22时，y＝101．
∴满足条件的最小正整数x是21．

类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用
4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?
【思路点拨】
根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式.
【答案与解析】
设去年招收“宏志班”学生x名，普通班学生y名，由条件得
将y＝550-x代入不等式，可解得x≥100，于是(1+10%)x≥110．
故今年最少可招收“宏志班”学生110名．
【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题.
举一反三：
【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?
【答案】
设这个学校选派值勤学生x人，共到y个交通路口值勤．根据题意得

由①可得x＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y≤20.5．
根据题意y取20，这时x为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．

5．已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.
【思路点拨】
（1）由于k为此方程的一个实数根，故把k代入原方程，即可得到关于k的一元二次方程，
①把k=m代入关于k的方程，即可求出m的值；
②由于k为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k，便可得到关于y与m的关系式；
（2）先求出根的判别式，再根据m的取值范围讨论△的取值即可．
【答案与解析】
（1）∵ k为的实数根，
∴ .※
① 当k = m时，
∵ k为非零实数根，
∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m，得.
整理，得 .
解得 ，.
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2.
∴ m= 1.
② ∵ k为原方程的非零实数根，
∴ 将方程※两边都除以k，得.
整理，得 .
∴ .
（2）解法一： .
当＜m＜2时，m＞0，＜0.
∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
解法三：.

结合关于m的图象可知，（如图）
当＜m≤1时，＜≤4；
当1＜m＜2时，1＜＜4.
∴ 当＜m＜2时，＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化.
举一反三：
【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．
【答案】
解：（1）∵方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，
∴△=42﹣4×2×（k﹣1）≥0，
∴k≤3．
又∵k为正整数，
∴k=1或2或3．
（2）当此方程有两个非零的整数根时，
当k=1时，方程为2x2+4x=0，解得x1=0，x2=﹣2；不合题意，舍去．
当k=2时，方程为2x2+4x+1=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；不合题意，舍去．
当k=3时，方程为2x2+4x+2=0，解得x1=x2=﹣1；符合题意．
因此y=2x2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x2﹣2．
【变式2】已知：关于x的方程
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；
(3)在⑵的条件下，对于一次函数和二次函数=，当时，有，求b的取值范围．
【答案】
⑴证明：∵△=(k－2)2－4(k－3)
=k2－4k+4－4k+12
= k2－8k+16
=(k－4)2≥0
∴此方程总有实根。
⑵解：解得方程两根为x1=－1，x2=3－k
∵方程有一根大于5且小于7，
∴5