北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理优质课ppt课件

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第二章 平面向量及其应用
高中/数学/北师大版（2019）/必修第二册
6.1 余弦定理与正弦定理-正弦定理
小结:
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状
余弦定理：
推论:
A
C
B
c
b
a
问题
（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
（1）你有何结论?
二、正弦定理
问题提出
分析理解 ： (1)在锐角△ABC中,有：
D
同理可证：
(2)在钝角△ABC中,有：
D
同理可证：
如图，过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°
A’
若A是钝角呢？
如何构造向量及等式？
怎样建立三角形中边和角间的关系？
方法三：
在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？
∵
而
∴
同理
∴
ha
方法四：
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
2，已知两角和一边，求其他角和边.
1，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
抽象概括
巩固提升
∴ A 为锐角
例5：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)?
分析 如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中已知BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长.
解 将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中,
BC=2.57cm, B=45O, C=120O
A=180O-(B+C)=15O
利用计算器算得
同理,
答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.
例6：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)?
分析 如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距离不大于250km时,该市受台风影响.
解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动,该市位于点B正西方向300km处的点A.
假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理.
知
解得
当
同理,当
答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.
A
A
B
B
C
C
a
a
b
b
A
B
C
a
b
A
B1
B2
C
a
a
b
A
B
C
b
a=bsinA
A
B
C
b
a方法二：画圆法
若A为锐角时:
若A为直角或钝角时:
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
D
考点：用正、余弦定理判断三角形解的个数问题
A
拓展训练1
<
A
能力提升
D
C
D
课堂练习
c
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易看出三角形有一个解的情况有两种。这些有些同学容易出现误区，直接令关于C的一元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情况，以后做题时要注意。
B
5.判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o
两解
一解
两解
无解
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法二比较简便。
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
2，已知两角和一边，求其他角和边.
1，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
小 结
成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初它的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
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