初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精品ppt课件

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1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
一、探究一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
-4 -2
请同学们猜想： 对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系.
x1+x2= x1.x2=
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2 那么x1+x2= ，x1·x2=
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么 x1+x2=-p x1·x2= q
1.满足上述关系的前提条件
练一练：1.不解方程，写出下列方程两个根的和与两个根的积：
二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) ,(4) .
1.不解方程，求方程两根的和与两根的积： （1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1. Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 . (2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 =
3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m＞0
(2)∵方程有实数根x1,x2
经检验m=8是原方程的解．
根与系数的关系（韦达定理）
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么