2022-2023学年江苏省苏州市常熟市等四地七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市常熟市等四地七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市常熟市等四地七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算a3⋅a2的结果是(    )
A. 2a5 B. a5 C. a6 D. a9
2. 一元一次不等式x+3>5的解集是(    )
A. x−2 C. x>2 D. xbc，则a>b”是______ 命题(填“真”或“假”)．
11. 若am=4，bm=9，则(ab)m的值为______ ．
12. 若(x−3)(x+a)=x2+bx+18，则a+b= ______ ．
13. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，若△ABC的面积为2，则四边形DBCE的面积是______ ．


14. 已知x=1y=−2是关于x，y的二元一次方程ax+by=1的解，则a2−4b2−4b+5= ______ ．
15. 如图，长方形ABCD的周长为12，面积为4.以DC为直角边向外作等腰直角三角形DCF(∠DCE=90°)，以BC为直角边向外作等腰直角三角形BCF(∠BCF=90°)，连接EF，则五边形ABFED的面积为______ ．


16. 在△ABC中，∠ABC=2∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=2∠AED，∠ABC的角平分线与∠ADE的角平分线交于点F，若∠F=52°，则∠EDC的度数为______ °.

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
解二元一次方程组：3x+y=75x−2y=8．
18. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)2(x+1)2−(x+1)；
(2)3m2−27．
19. (本小题6.0分)
解一元一次不等式组：3(x−1)13．
20. (本小题6.0分)
如图，点C是∠AOB边OA上一点，过点C作CD/​/OB．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作出∠AOB的平分线，交CD于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若∠ACD=62°，求∠CEO的度数．

21. (本小题7.0分)
已知3a2−7a−5=0，求(a−1)2+12a(a−3)的值．
22. (本小题7.0分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D.在射线CD上截取CE=CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
(1)求证：△ABC≌△CFE；
(2)若AB=9，EF=4，求BF的长．

23. (本小题7.0分)
观察下列等式：
①22−122=12+1；
②32−222=12+2；
③42−322=12+3；
④52−422=12+4⋯
(1)请按以上规律写出第8个等式______ ；
(2)猜想并写出第n个等式；
(3)证明你猜想的正确性．
24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B=25°，∠E=36°，则∠BAC= ______ ；
(2)若∠BAC=100°，且∠E=2∠B，求∠E的度数．

25. (本小题10.0分)
某商店需要购进甲、乙两种商品(两种商品均购进)，其进价和销售价如表所示：

甲
乙
进价(元/件)
120
150
售价(元/件)
135
180
(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案；
(3)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润.(利润=售价−进价)
26. (本小题10.0分)
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”.如：一元一次方程x+1=2的解为x=1，而一元一次不等式2x−30 
【解析】解：依题意得：x+1>0．
故答案为：x+1>0．
根据“x与1的和大于0”，即可得出关于x的一元一次不等式，此意得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

10.【答案】假 
【解析】解：当c=−1时，−a>−b，则abc，则a>b”是假命题．
故答案为：假．
利用c=−1可判断命题为假命题．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

11.【答案】36 
【解析】解：当am=4，bm=9时，
(ab)m
=am⋅bm
=4×9
=36．
故答案为：36．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

12.【答案】−15 
【解析】解：由题意得，x2+(a−3)x−3a=x2+bx+18，
∴a−3=b，−3a=18．
∴a=−6，b=−9．
∴a+b=−15．
故答案为：−15．
依据题意，将已知等式左右两边变形，然后根据相应项相等可得a，b的方程组，进而可以得解．
本题主要考查了整式的乘法，解题时要能熟悉变形，同时将问题化简．

13.【答案】32 
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE/​/BC，BC=2DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∵△ABC的面积为2，
∴S△ADE=2×14=12，
∴四边形DBCE的面积=2−−12=32，
故答案为：32．
由三角形中位线定理可得DE/​/BC，BC=2DE，通过证明△ABC∽△ADE，可得S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比=相似比的平方是解题的关键．

14.【答案】6 
【解析】解：把x=1y=−2代入方程ax+by=1得：
a−2b=1，
所以a2−4b2−4b+5
=(a+2b)(a−2b)−4b+5
=(a+2b)×1−4b+5
=a+2b−4b+5
=a−2b+5
=1+5
=6．
故答案为：6．
把x=1y=−2代入方程ax+by=1得a−2b=1，再根据平方差公式分解因式，再代入，即可求出答案．
本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能求出a+2b=1是解此题的关键．

15.【答案】20 
【解析】解：∵长方形ABCD的周长为12，面积为4，CD>BC，
∴AB=CD，AD=BC，CD+BC=6，CD⋅BC=4，
设CD为x，则BC=6−x，
∴x(6−x)=4，
解得：x1=3+ 5，x2=3− 5，
当x=3+ 5时，6−x=3− 5，符合题意；
当x=3− 5时，6−x=3+ 5，不符合题意，舍去；
∴CD=3+ 5时，BC=3− 5，
∵△DCE和△BCF是等腰直角三角形，
∴CE=CD=3+ 5，CF=BC=3− 5，
∴S五边形ABFED=S长方形ABCD+S△CDE+S△BCF+S△CEF
=4+12CD2+12BC2+12CE⋅CF
=4+12×(3+ 5)2+12×(3− 5)2+12×(3+ 5)×(3− 5)
=20，
故答案为：20．
设CD为x，则BC=6−x，由长方形的面积为4，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】26 
【解析】解：∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADE，
∴∠ABC=2∠DBF，∠ADE=2∠EDF，
∵∠ABC=2∠C，∠ADE=2∠AED，
∴∠C=∠DBF，∠AED=∠EDF，
∵∠CDF=∠F+∠DBF，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDF+∠EDC=∠F+∠C，
则∠C+∠EDC+∠EDC=52°+∠C，
解得：∠EDC=26°．
故答案为：26．
由题意可求得∠C=∠DBF，∠AED=∠EDF，再利用三角形的外角性质可得∠CDF=∠F+∠CBF，∠AED=∠C+∠EDC，从而可得相应的方程，解方程即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．

17.【答案】解：3x+y=7①5x−2y=8②，
①×2+②，可得11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①，可得3×2+y=7，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=2y=1． 
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．

18.【答案】解：(1)2(x+1)2−(x+1)
=(x+1)[2(x+1)−1]
=(x+1)(2x+2−1)
=(x+1)(2x+1)；
(2)3m2−27
=3(m2−9)
=3(m+3)(m−3)． 
【解析】(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

19.【答案】解：3(x−1)13②，
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x>−43，
所以不等式组的解集为x>−1． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)如图所示；

(2)∵CD//OB，
∴∠CEO=∠BOE，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠COE=∠BOE，
∴∠CEO=∠COE，
∵∠ACD=∠COE+∠CEO=2∠CEO，
∴∠CEO=12∠ACD=12×62=31°． 
【解析】(1)根据角平分线的作法作出图形即可；
(2)根据平行线的性质得到∠COE=∠BOE，根据平行线的性质得到∠CEO=∠BOE，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，正确地作出图形是解题的关键．

21.【答案】解：(a−1)2+12a(a−3)
=a2−2a+1+12a2−32a
=32a2−72a+1，
∵3a2−7a−5=0，
∴32a2−72a=52，
则原式=52+1=72． 
【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵EF⊥CE，
∴∠E=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠ECF=90°−∠ACE，
在△ABC和△CFE中，
∠A=∠ECFCA=CE∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC≌△CFE(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△CFE，
∴CF=AB=9，CB=EF=4，
∴BF=CF−CB=5． 
【解析】(1)由同角的余角相等得到∠A=∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；
(2)根据全等三角形的性质即可求得答案．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．

23.【答案】92−822=12+8 
【解析】解：(1)∵等式①为22−122=(1+1)2−122=12+1；
等式②为32−222=(2+1)2−222=12+2；
等式③为42−322=(3+1)2−322=12+3；
等式④为52−422=(4+1)2−422=12+4；
……
∴第8个等式为(8+1)2−822=92−822=12+8，
故答案为：92−822=12+8；
(2)由(1)题结论可得，
第n个等式为(n+1)2−n22=12+n；
(3)∵(n+1)2−n22
=n2+2n+1−n22
=2n+12
=12+n，
∴第n个等式为(n+1)2−n22=12+n．
(1)根据前4个等式的特点求解此题；
(2)根据前4个等式的特点和第(2)的结果进行归纳、求解；
(3)运用完全平方公式对该结论进行计算、推理．
此题考查了有理数混合运算方面数字变化类规律问题的解决能力，关键是能通过准确的猜想、归纳、推导进行求解．

24.【答案】97° 
【解析】解：(1)∵∠B=25°，∠E=36°，∠DCE是△BCE的外角，
∴∠DCE=∠B+∠E=61°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠DCE=122°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BAC=∠ACD−∠B=97°；
故答案为：97°；
(2)∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠DCE=∠B+∠E，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠DCE=∠B+∠E，
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE，
∵∠BAC=100°，∠E=2∠B，
∴100°=2∠B+∠B+2∠B，
解得：∠B=20°，
∴∠E=40°．
(1)由三角形的外角性质可求得∠DCE=61°，再由角平分线的定义可求得∠ACD=122°，再次利用三角形的外角性质即可求∠BAC的度数；
(2)由三角形的外角性质可得∠DCE=∠B+∠E，再由角平分线的定义可得∠ACE=∠B+∠E，再由三角形的外角性质可得∠E+∠ACE=100°，从而可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．

25.【答案】解：(1)设甲、乙两种商品分别购进x，y件，根据题意可得：
x+y=30120x+150y=3900，
解得：x=20y=10，
答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
(2)设甲、乙两种商品分别购进m，n件，根据题意可得：
120m+150n=1800，
可得：m=10n=4,m=5n=8，
答：甲、乙两种商品购进件数的所有方案为：方案一：甲10件，乙4件；方案二：甲5件，乙8件；
(3)设甲商品最多能购进a件，根据题意可得：
(135−120)a+(180−150)(30−a)≥785，
解得：a≤723，
因为a取整数，
答：甲商品最多能购进7件． 
【解析】(1)根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元得出方程组解答即可；
(2)根据商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，得出方程解答即可；
(3)根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，得出不等式解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26.【答案】②③ 
【解析】解：(1)①−3(x+1)=9，
x+1=−3，
x=−3−1，
x=−4；
②2x+3=5，
2x=5−3，
2x=2，
x=1；
③x+54=12，
x+5=2，
x=2−5，
x=−3；
3(1+x)>x−4，
3+3x>x−4，
3x−x>−4−3，
2x>−7，
x>−3.5，
∴在①−3(x+1)=9，②2x+3=5，③x+54=12，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3(1+x)>x−4的“伴随方程”的有②③，
故答案为：②③；
(2)①3x−a=2，
3x=2+a，
x=2+a3，
3(a+x)≥4a+x，
3a+3x≥4a+x，
3x−x≥4a−3a，
2x≥a，
x≥a2，
∵方程3x−a=2是关于x一元一次不等式3(a+x)≥4a+x的“伴随方程”，
∴2+a3≥a2，
2(2+a)≥3a，
4+2a≥3a，
a≤4；
x−12+1=x，
x−1+2=2x，
x−2x=1−2，
−x=−1，
x=1，
a2