1 主题 集合含义的拓展 讲义-高一上学期数学沪教版()必修第一册期末复习

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学生版
主题 集合含义的拓展
在用描述法表示集合时应注意：
（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式；
（2）（元素具有怎样的属性）当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合；


变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？


变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
例题 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合；
【提示】注意：审题关键词“点”；
【解析】
变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【提示】注意：审题关键词“改为”；
【解析】
变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【提示】注意：审题关键词“改为”；
【解析】


换一种出题方式
例题 下面三个集合：
①{(x，y)|y＝x2＋1}；②{x|y＝x2＋1}；③{y|y＝x2＋1}；
（1）它们各自的含义是什么？
（2）它们是不是相同的集合？
【解析】


一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
解题技巧（认识集合含义的2个步骤）
一看代表元素，是数集还是点集还是抽象元素，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；
1、若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；（2）若x∈A，y∈A；则xy∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中错误的是（　　）
A．集合B＝{1，0，1}是“好集”
B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A


2、设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.








【教师版】
主题 集合含义的拓展
在用描述法表示集合时应注意：
（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式；
（2）（元素具有怎样的属性）当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合；


变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？


变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
例题 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合；
【提示】注意：审题关键词“点”；
【解析】抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}；
变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【提示】注意：审题关键词“改为”；
【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数；
变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【提示】注意：审题关键词“改为”；
【解析】集合{ y| y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{ y| y＝x2＋1}＝{ y| y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．
换一种出题方式
例题 下面三个集合：
①{(x，y)|y＝x2＋1}；②{x|y＝x2＋1}；③{y|y＝x2＋1}；
（1）它们各自的含义是什么？
（2）它们是不是相同的集合？
【解析】（1）集合①{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
集合②{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合③的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
（2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合；
一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
解题技巧（认识集合含义的2个步骤）
一看代表元素，是数集还是点集还是抽象元素，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；
1、若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；（2）若x∈A，y∈A；则xy∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中错误的是（　　）
A．集合B＝{1，0，1}是“好集”
B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A
【答案】A；
【解析】对于，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”．故错误；
对于，因为，，且对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故正确；
对于，因为，但，所以整数集不是“好集”．故正确；
因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正确．
故选：A；
2、设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【解析】
（1）证明：若x∈A，则，又∵2∈A，∴
∵∈A，∴，∴中另外两个元素为，；
（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，
∴不是双元素集合；
（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
∴x∈A，，，，，，
∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴，
∵，∴2∈A，∴，∴∈A，
设m＝a，同理得∈A，∈A，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
∴、3、，∴．