6 主题 直观表示集合运算的方法讲义-高一上学期数学沪教版()必修第一册期末复习

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学生版
主题 直观表示集合运算的方法
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题：设全集为，集合，则（ ）
A． B． C． D．
一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
【分析】

【答案】
【解析】

一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
解答此类题目，一般考虑如下三步：
第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是“抽象元素”集等；
第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；
第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有：
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）
1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】
【答案】
【解析】



【说明】
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合，，
且，则=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【提示】
【答案】
【解析】


【说明】
综上，由于集合运算问题重点考查对集合概念的理解、集合间的基本关系的掌握，考查集合的基础知识的掌握和集合的基本的运算能力；所以，通过理解与归纳相关的性质与结论，可以帮助拓展思维、快捷解题；1、集合的运算性质及重要结论
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩＝；③A∪A＝A，A∪＝A；
④A∩∁UA＝，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A；
2、锦囊妙计，非常有用
（1）1个性质
要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁U B、A∩(∁UB)＝这五个关系式的等价性；
（2）2种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心；
（3）3个防范
①空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解；
②认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）；
③在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误；




















【教师版】
主题 直观表示集合运算的方法
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题：设全集为，集合，则（ ）
A． B． C． D．
一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
【分析】注意：根据已知集合的描述法表示，利用求指数函数值域的方法化简集合，利用求函数定义域的方法化简，再利用数轴求出；
【答案】D；
【解析】因为，全集为，集合，，或，
所以，；故选：；
一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
解答此类题目，一般考虑如下三步：
第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是“抽象元素”集等；
第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；
第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有：
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）
1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】采用列举法列举出中元素的即可；
【答案】C；
【解析】由题意，中的元素满足，且，由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4；故选C；
【说明】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解；
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合，，
且，则=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【提示】由题意首先求得集合，，然后结合交集的结果得到关于的方程，求解方程即可确定实数的值；
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得，
求解一次不等式可得，由于，
结合数轴，得，解得；故选B；
【说明】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力；
综上，由于集合运算问题重点考查对集合概念的理解、集合间的基本关系的掌握，考查集合的基础知识的掌握和集合的基本的运算能力；所以，通过理解与归纳相关的性质与结论，可以帮助拓展思维、快捷解题；
1、集合的运算性质及重要结论
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩＝；③A∪A＝A，A∪＝A；
④A∩∁UA＝，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A；
2、锦囊妙计，非常有用
（1）1个性质
要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁U B、A∩(∁UB)＝这五个关系式的等价性；
（2）2种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心；
（3）3个防范
①空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解；
②认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）；
③在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误；