9 主题 集合中的新定义题 讲义-高一上学期数学沪教版()必修第一册期末复习

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学生版
主题 集合中的新定义题
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题： 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合；
（1）判断集合是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；
（3）若集合为闭集合，且，证明：；

一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
【提示】
（1）根据特值，但是，判断不为闭集合，设，
可证出，，为闭集合；
（2）取特例，，集合为闭集合，但不为闭集合即可；
（3）用反正正法，若，因为，存在且，故，同理，因为，存在且，故，若，则由为闭集合，，与矛盾，同理可知若，，与矛盾，即可证明；
【解析】









【说明】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题
一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
1、对于集合题的通法：
（1）认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件；
（2）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
（3）易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
（4）运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
（5）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误；
2、集合中的新定义问题
对于以“集合为背景”的新定义问题，建议：首先，正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口；其次，合理利用集合性质：运用集合的性质（如：元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键；在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用；题型有：
一、紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在。
二、把握“新”性质：用好集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。
三、遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可。
综上，解决集合的新定义问题，关键还是：要正确理解与转化新定义；要合理利用已有的集合的表示、关系、运算与性质，进行学习过程的类比，对应知识与方法的等价转化。
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；
【2020年高考浙江卷】设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x 下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有5个元素



【说明】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.















【教师版】
主题 集合中的新定义题
一题：紧扣教材与贴近试题的（典型例题）；
例题： 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合；
（1）判断集合是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；
（3）若集合为闭集合，且，证明：；
一析：细辩精析与规范解答的（细析详解）；
【提示】
（1）根据特值，但是，判断不为闭集合，设，
可证出，，为闭集合；
（2）取特例，，集合为闭集合，但不为闭集合即可；
（3）用反正正法，若，因为，存在且，故，同理，因为，存在且，故，若，则由为闭集合，，与矛盾，同理可知若，，与矛盾，即可证明；
【解析】
（1）因为，但是4+4=8，所以，不为闭集合；
任取，设，则且，所以，
同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定.
令，，
则由（1）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不为闭集合；
（3）证明：（反证法）若；
则因为，存在且，故,
同理，因为，存在且，故，
因为，所以，或,
若，则由为闭集合，，与矛盾,
若，则由为闭集合，，与矛盾，
综上，存在，使得；
【说明】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题
一法：通过体验与收获最佳的（方法归纳）；
1、对于集合题的通法：
（1）认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件；
（2）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
（3）易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
（4）运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
（5）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误；
2、集合中的新定义问题
对于以“集合为背景”的新定义问题，建议：首先，正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口；其次，合理利用集合性质：运用集合的性质（如：元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键；在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用；题型有：
一、紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在。
二、把握“新”性质：用好集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。
三、遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可。
综上，解决集合的新定义问题，关键还是：要正确理解与转化新定义；要合理利用已有的集合的表示、关系、运算与性质，进行学习过程的类比，对应知识与方法的等价转化。
一得：实践练习与得到合理的（收获拓展）；
【2020年高考浙江卷】设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x 下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
【答案】A
【解析】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项C；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A；
【说明】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.