适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量解答题专项四第2课时求空间角课件北师大版

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例题在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)
答案 A解析 (方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC.所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,建立空间直角坐标系如图所示.
(方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角的平面角.
规律方法 用向量法求异面直线所成角的步骤
例题(2022·全国乙,理18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
(1)证明 ∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E为AC的中点,AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
(2)解 如图,连接EF,由(1)知AC⊥平面BED.∴EF⊥AC,∴当△AFC的面积最小时,EF最小.在△BDE中,若EF最小,则EF⊥BD.∵AB=CB=2,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=2,BE= .∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴DE2+BE2=BD2,∴BE⊥DE.
由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,则以E为原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
规律方法 求直线与平面所成角的两种方法
对点训练(2023·江苏镇江模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,侧面AA1C1C是边长为2的菱形.(1)若△ABC是正三角形,求异面直线DB1与BC所成角的余弦值;(2)当直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 时,求线段BD的长.
解 (1)依题意,点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,所以A1D⊥平面ABC,A1D⊥CD,A1D⊥BD,由于AB=BC,所以BD⊥CD,以D为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,A1(0,0, ),C(0,1,0),
例题(12分)(2022·新高考Ⅰ,19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2 .(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
(2)连接AB1交A1B于点E,如图.
【教师讲评】 (1)利用等体积变换法求点到平面的距离.(2)结合图形和条件,利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定和性质得多组线线垂直关系,从而建立空间直角坐标系.分别求出两个平面的法向量,利用公式代入计算即可.要注意本题要求的是二面角的正弦值,由公式得出的是两个法向量的余弦值.
规律方法 利用空间向量求二面角的两种常用方法
对点训练(12分)(2022·新高考Ⅱ,20)如图,PO是三棱锥P-ABC的高, PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
(1)证明 连接OA,OB,如图所示.∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,
(2)解 过点D作DF∥OP,分别以DB,DO,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵PO=3,PA=5,∴OA=4.由(1)知OB=OA=4,又∠ABO=∠CBO=30°,