适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第六章数列解答题专项三数列中的综合问题课件北师大版

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考情分析:数列是高考考查的重点内容,在近几年的高考试卷中,数列解答题的命题趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,以考查数列的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,一般放在解答题的前两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
例题(2022·新高考Ⅱ,17)已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.
(1)证明 设等差数列的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得证.(2)解 由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,得2k-1=2m.∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1 000.∴2≤k≤10.又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.
引申探究(变条件变结论)若本例条件不变,将(2)改为:“若a1=4,求集合{bk|bk=am+a1,1≤m≤500}中所有元素的和”,再解决问题.解 由本例(2)的解答可知,集合{bk|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素共有9个,即b2,b3,…,b10,由于a1=4,所以b1=4,
规律方法 解决等差数列与等比数列基本问题的技巧(1)合理地设出基本量,将已知条件转化为等差数列与等比数列的基本量之间的关系,运用方程思想以及通项公式、前n项和公式进行求解.(2)注意合理运用数列的相关性质以及整体思想,简化运算过程,注意数列中“项数为正整数”等隐含条件.
对点训练(2021·新高考Ⅱ,17)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列an的通项公式;(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
(2)由(1)知an=2n-6,n∈N*,∴a1=-4,要使Sn>an,则n2-5n>2n-6,即n2-7n+6>0,(n-1)(n-6)>0解得n<1或n>6.∵n∈N*,∴n的最小值为7.
规律方法 解决数列中的通项与求和问题的注意点(1)利用an=Sn-Sn-1解决问题时,注意其成立的前提条件是n≥2,对n=1时的情形要单独分析.(2)根据递推关系式求数列通项公式时,注意累加法、累乘法的运用,若已知an-an-1=f(n),可用累加法;若已知 =f(n),可用累乘法.(3)数列求和的关键在于对数列通项公式的分析,然后根据通项公式的形式及类型确定相应的求和的方法.
对点训练(10分)(2021·新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.
考向1数列中的存在性问题(1)求{an}的通项公式.(2)已知{an}的前n项和为Sn,试问是否存在正整数p,q,r,使得Sn=p-qan+r?若存在,求p,q,r的值;若不存在,说明理由.
对照Sn=p-qan+r可得p=3,q=4,r=2,所以存在正整数p,q,r,使得Sn=p-qan+r,且p=3,q=4,r=2.
规律方法 解决数列中存在性问题的策略数列中的存在性问题,通常是先假设符合条件的元素(数列、项、参数等)存在,然后根据符合的条件,采取以下几种方法进行求解:(1)由特殊到一般,对项数n取特殊值,建立关于参数的方程组进行求解,若有解,则说明符合条件的元素存在;若无解,则说明符合条件的元素不存在.(2)对条件中的代数式进行整理转化,根据条件对照系数,分析判断符合条件的元素是否存在.
对点训练(2022·河北衡水高三三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=3,an=xan-1+n-2(n≥2),其中x∈R.(1)若x=1,求出an.(2)是否存在实数x,y,使{an+yn}为等比数列?若存在,求出Sn;若不存在,说明理由.
假设存在实数x,y满足题意.设{an+yn}的公比为q(q≠0),则当n≥2时,an+yn=q[an-1+y(n-1)],即an=qan-1+(qy-y)n-qy,
所以a1+y=3+1=4,故存在x=2,y=1使得{an+yn}是首项为4,公比为2的等比数列.
考向2数列中的不等式恒成立问题
解 (1)因为a1,an,Sn为等差数列,所以2an=a1+Sn.因此有2an+1=a1+Sn+1,两式相减得2an+1-2an=Sn+1-Sn,即an+1=2an,所以{an}是以2为公比的等比数列.
规律方法 数列中不等式恒成立问题的求解策略(1)分离参数法:对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题,优先考虑分离参数,再转化为最值问题处理;(2)单调性法:对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题,可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式,再求参数范围;(3)最值(有界性)法:对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题,一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界),进而求出参数范围.
对点训练(2023·山东潍坊高三模拟预测)已知{an}和{bn}均为等差数列,a1=b1=1,a3=a1+a2,b5=b4+a2,记cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn这n个数中最大的数.(1)计算c1,c2,c3,猜想数列{cn}的通项公式并证明;
解 (1)设等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,那么,c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2,猜想{cn}的通项公式为cn=1-n.证明如下:令k∈N*,则当n≥3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,所以数列{bk-nak}是递减数列,所以cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan}=b1-na1=1-n.又当n=1,2时,cn也符合上式,所以cn=1-n.